Question

如图，为圆的直径，点、在圆上，，矩形所在的平面与圆所在的平面互相垂直．已知,．

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的大小；

（Ⅲ）当的长为何值时，平面与平面所成的锐二面角的大小为？

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）如下（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】

试题分析：（I）证明：平面平面,,

平面平面=，

平面．

平面，，

又为圆的直径，，

平面．          

平面，平面平面．

（II）根据（Ⅰ）的证明，有平面，

为在平面内的射影,

因此，为直线与平面所成的角

，四边形为等腰梯形，

过点作，交于．,，则．

在中，根据射影定理，得．     

，． 与平面所成角的大小为

（Ⅲ）设中点为，以为坐标原点，、、方向分别为轴、轴、 轴方向建立空间直角坐标系（如图）．设，则点的坐标为则,又

     

设平面的法向量为，则,．

即    令，解得，

由（I）可知平面，取平面的一个法向量为，依题意 与的夹角为

，即，解得

因此，当的长为时，平面与平面所成的锐二面角的大小为．

考点：平面与平面垂直的判定定理；二面角

点评：直线与平面平行、垂直的判定定理是常考知识点。另求二面角时，一般是结合向量来求解。