摘要：设使定义在区间上的函数.其导函数为.如果存在实数和函数.其中对任意的都有>0.使得.则称函数具有性质. (1)设函数.其中为实数 ①求证:函数具有性质 ②求函数的单调区间 (2)已知函数具有性质.给定 ..且.若||< ||,求的取值范围 [解析] 本小题主要考查函数的概念.性质.图象及导数等基础知识.考查灵活运用数形结合.分类讨论的思想方法进行探索.分析与解决问题的综合能力.满分16分. ∵时.恒成立. ∴函数具有性质, 设.与的符号相同. 当时...故此时在区间上递增, 当时.对于.有.所以此时在区间上递增, 当时.图像开口向上.对称轴.而. 对于.总有..故此时在区间上递增, 当时.对于. 所以.故此时在区间上递增, 当时.图像开口向上.对称轴.方程的两根为:.而 当时...故此时在区间 上递减,同理得:在区间上递增. 综上所述.当时.在区间上递增, 当时.在上递减,在上递增. 由题意.得: 又对任意的都有>0. 所以对任意的都有.在上递增. 又. 当时..且. 综合以上讨论.得:所求的取值范围是(0.1). 由题设知.的导函数.其中函数对于任意的都成立.所以.当时..从而在区间上单调递增. ①当时.有. .得.同理可得.所以由的单调性知.. 从而有||<||.符合题设. ②当时.. .于是由及的单调性知.所以||≥||.与题设不符. ③当时.同理可得.进而得||≥||.与题设不符. 因此综合①.②.③得所求的的取值范围是(0.1).

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