摘要： (Ⅰ)已知函数.其图象记为曲线. (ⅰ)求函数的单调区间, (ⅱ)证明:若对于任意非零实数.曲线与其在点处的切线交于另一点.曲线与其在点处的切线交于另一点.线段.与曲线所围成封闭图形的面积分别记为S1.S2.则为定值, (Ⅱ)对于一般的三次函数.请给出类似于的正确命题.并予以证明. [命题意图]本小题主要考查函数.导数.定积分等基础知识.考查抽象概括能力.运算求解能力.推理论证能力.考查函数与方程思想.数形结合思想.化归与转化思想.特殊与一般思想. [解析]由得=. 当和时., 当时.. 因此.的单调递增区间为和.单调递减区间为. (ii)曲线C与其在点处的切线方程为 得. 即.解得.进而有 .用代替.重复上述计算过程.可得 和.又.所以 因此有. (Ⅱ)记函数的图象为曲线.类似于的正确命题为:若对任意不等式的实数.曲线与其在点处的切线交于另一点 .曲线C与其在点处的切线交于另一点.线段 证明如下: 因为平移变换不改变面积的大小.故可将曲线的对称中心平移至坐标原点.因而不妨设.类似的计算可得 .故.

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