摘要：如图.在五棱锥P-ABCDE中.PA⊥平面ABCDE.AB∥CD.AC∥ED.AE∥BC.∠ABC=45..AB=2.BC=2AE=4.三角形PAB是等腰三角形. (Ⅰ)求证:平面PCD⊥平面PAC, (Ⅱ)求直线PB与平面PCD所成角的大小, (Ⅲ)求四棱锥P-ACDE的体积. [解析](Ⅰ)证明:因为ABC=45°.AB=2.BC=4.所以在中.由余弦定理得:.解得. 所以.即.又PA⊥平面ABCDE.所以PA⊥. 又PA.所以.又AB∥CD.所以.又因为 .所以平面PCD⊥平面PAC, 知平面PCD⊥平面PAC.所以在平面PAC内.过点A作于H.则 .又AB∥CD.AB平面内.所以AB平行于平面.所以点A到平面的距离等于点B到平面的距离.过点B作BO⊥平面于点O.则为所求角.且.又容易求得.所以.即=.所以直线PB与平面PCD所成角的大小为, 知.所以.又AC∥ED.所以四边形ACDE是直角梯形.又容易求得.AC=.所以四边形ACDE的面积为.所以 四棱锥P-ACDE的体积为=. [命题意图]本题考查了空间几何体的的线面与面面垂直.线面角的求解以及几何体的体积计算问题.考查了同学们的空间想象能力以及空间思维能力. 本小题主要考察空间中的基本关系.考察线面垂直.面面垂直的判定以及线面角和集合体体积的计算.考查识图能力.空间想象力和逻辑推理能力.满分12分 (|)证明:在△ABC中.因为∠ABC=45°.BC=4.AB=. 所以AC2=AB+BC2-2AB·BC·cos45°=8 因此 AC=.故BC2=AC2+AB2,所以∠BAC=90° 所以CD⊥PA,CD⊥AC, 又 PA,AC 平面PAC,且PAAC=A. 所以 CD⊥PAC,又 CD平面PCD. 所以 平面PCD⊥平面PAC-------------------------------------------- 则,又 .所以 解法二:由(|)知AB,AC,AP两两相互垂直.分别以AB.AC.AP为x轴.y轴.z轴建立如图所示的空间直角坐标系.由于△PAB是等腰三角形. 所以 PA=AB=,又AC=, 因此直线PB与平面PCD所成的角为 (Ⅲ)因为AC∥ED,CD⊥AC.所以 四边形ACDE是直角梯形. 因为 AE=2,∠ABC=45°.AE∥BC. 所以 ∠BAE=135°.因此 ∠CAE=45°, 故 CD=AE·sin45°==2×=. 所以 又 PA⊥平面ABCDE. 所以

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