Question

如图，在五棱锥P-ABCDE中，PA⊥平面ABCDE，AB∥CD，AC∥ED，AE∥BC，∠ABC=45°，AB=2

2

，BC=2AE=4，三角形PAB是等腰三角形．
（Ⅰ）求证：平面PCD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的大小；
（Ⅲ）求四棱锥P-ACDE的体积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要证平面PCD⊥平面PAC，只需证明平面PCD内的直线CD，垂直平面PAC内的两条相交直线PA、AC即可；
（Ⅱ）过点A作AH⊥PC于H，说明∠PBO为所求角，然后解三角形求直线PB与平面PCD所成角的大小，也可以利用空间直角坐标系，求出向量

BP

，平面PCD的一个法向量

m

=(0，1，1)，计算cosθ=

m • BP

| m |•| BP |

，即可．
（Ⅲ）直接求出底面面积和高，再求四棱锥P-ACDE的体积．

解答：解：（Ⅰ）证明：因为∠ABC=45°，AB=2

2

，BC=4，
所以在△ABC中，由余弦定理得：AC2=(2

2

)2+42-2×2

2

×4cos45°=8，解得AC=2

2

，
所以AB²+AC²=8+8=16=BC²，即AB⊥AC，
又PA⊥平面ABCDE，所以PA⊥AB，
又PA∩AC=A，所以AB⊥平面PAC，又AB∥CD，所以CD⊥平面PAC，
又因为CD?平面PCD，所以平面PCD⊥平面PAC；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面PCD⊥平面PAC，

所以在平面PAC内，过点A作AH⊥PC于H，
则AH⊥平面PCD，又AB∥CD，AB?平面PCD内，所以AB平行于平面PCD，
所以点A到平面PCD的距离等于点B到平面PCD的距离，过点B作BO⊥平面PCD于点O，
则∠BPO为所求角，且AH=BO，又容易求得AH=2，
所以sin∠BPO=

1

2

，即∠BPO=30°，
所以直线PB与平面PCD所成角的大小为30°；

另解：（Ⅱ）因为△PAB为等腰三角形，所以PA=AB=2

2

，PB=

PA2+AB2

=4
又AB∥CD，所以点B到平面PCD的距离等于点A到平面PCD的距离．
由CD⊥平面PAC，在Rt△PAC中，PA=2

2

，AC=2

2

，所以PC=4．
故PC边上的高为2，即点A到平面的距离，即点点B到平面PCD的距离为2．
设直线PB与平面PCD所成的角为θ，则sinθ=

h

PB

=

2

4

=

1

2

，
又θ∈[0，

π

2

]，所以θ=

π

6

．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知AB，AC，AP两两互相垂直，
分别以AB，AC，AP为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
由△PAB为等腰直角三角形，所以PA=AB=2

2

，
而AC=2

2

，则A(0，0，0)，B(2

2

，0，0)，C(0，2

2

，0)，P(0，0，2

2

)
因为AC∥ED，CD⊥AC，所以四边形ACDE是直角梯形．
因为AE=2，∠ABC=45°，AE∥BC，所以∠BAE=135°，∠CAE=45°，
故CD=AE•sin45°=2×

2

2

=

2

，所以D(-

2

，2

2

，0)．
因此

CP

=(0，-2

2

，2

2

)，

CD

=(-

2

，0，0)，设

m

=(x，y，z)是平面PCD的一个法向量，
则

m

•

CP

=0，

m

•

CD

=0，解得x=0，y=z．取y=1，得

m

=(0，1，1)，
而

BP

=(-2

2

，0，2

2

)．
设θ表示向量

BP

与平面PCD的法向量

m

所成的角，则cosθ=

m • BP

| m |•| BP |

=

1

2

，θ=

π

3

因此直线PB与平面PCD所成角的大小为

π

6

；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知CD⊥平面PAC，所以CD⊥AC，又AC∥ED，所以四边形ACDE是直角梯形，又容易求得DE=

2

，AC=2

2

，所以四边形ACDE的面积为

1

2

(

2

+2

2

)×

2

=3，所以四棱锥P-ACDE的体积为

1

3

×2

2

×3=2

2

．

点评：本题主要考查空间中的基本关系，考查线面垂直、面面垂直的判定以及线面角和几何体体积的计算，考查识图能力、空间想象能力和逻辑推理能力．