摘要：如图.圆柱内有一个三棱柱.三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形.且是圆的直径. (Ⅰ)证明:平面⊥平面, (Ⅱ)设.在圆柱内随机选取一点.记该点取自于三棱柱内的概率为. (ⅰ)当点在圆周上运动时.求的最大值, (ⅱ)记平面与平面所成的角为(0°＜≤90°).当取最大值时.求的值. [命题意图]本小题主要考查直线与直线.直线与平面.平面与平面的位置关系.以及几何体的体积.几何概型等基础知识.考查空间想象能力.运算求解能力.推理论证能力.考查数形结合思想.化归与转化思想.必然与或然思想. [解析](Ⅰ)因为平面ABC.平面ABC.所以. 因为AB是圆O直径.所以.又.所以平面. 而平面.所以平面平面. 设圆柱的底面半径为.则AB=.故三棱柱的体积为 =.又因为. 所以=.当且仅当时等号成立. 从而.而圆柱的体积. 故=当且仅当.即时等号成立. 所以的最大值是. 可知.取最大值时..于是以O为坐标原点.建立空间直角坐标系.B.. 因为平面.所以是平面的一个法向量. 设平面的法向量.由.故. 取得平面的一个法向量为.因为. 所以.

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