设函数对任意的实数均成立.则称函数函数. (1)函数是函数吗?请说明理由, (2)若函数.均有函数, (3)请写出一个形如的函数.并研究它的性质.——青夏教育精英家教网—

摘要：设函数对任意的实数均成立.则称函数函数. (1)函数是函数吗?请说明理由, (2)若函数.均有函数, (3)请写出一个形如的函数.并研究它的性质.

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(Ⅰ)求证：若函数f(x)为Ω函数，则f(0)=0；

(Ⅱ)试判断函数f₁(x)=xsinx、f₂(x)=和f₃(x)=中哪些是Ω函数，并说明理由；

(Ⅲ)若f(x)是奇函数且是定义在R上的可导函数，函数f(x)的导数f′(x)满足|f′(x)|＜1，试判断函数f(x)是否为Ω函数，并说明理由．

设函数f(x)的定义域为R，若存在常数M＞0，使得|f(x)|≤M|x|对一切实数x均成立，则称f(x)为F函数，给出下列函数：

①f(x)＝0；

②f(x)＝x²；

③f(x)＝(sinx＋cosx)；

④f(x)＝；

⑤f(x)是定义在R上的奇函数，且对于任意实数x₁，x₂，均有|f(x₁)－f(x₂)|≤2|x₁－x₂|．

则其中是F函数的序号是________

定义：已知函数f(x)与g(x)，若存在一条直线y＝kx＋b，使得对公共定义域内的任意实数均满足g(x)≤f(x)≤kx＋b恒成立，其中等号在公共点处成立，则称直线y＝kx＋b为曲线f(x)与g(x)的“左同旁切线”．已知

(Ⅰ)证明：直线y＝x－l是f(x)与g(x)的“左同旁切线”；

(Ⅱ)设P(x₁，f(x₁))，Q(x₂，f(x₂))是函数f(x)图象上任意两点，且0＜x₁＜x₂，若存在实数x₃＞0，使得．请结合(I)中的结论证明：x₁＜x₃＜x₂．

(Ⅰ)证明：直线y＝x－l是f(x)与g(x)的“左同旁切线”；

(Ⅱ)设P(x₁,f(x₁)，Q(x₂，f(x₂))是函数f(x)图象上任意两点，且0＜x₁＜x₂，若存在实数x₃＞0，使得．请结合(Ⅰ)中的结论证明：x₁＜x₃＜x₂．

(北京海淀模拟)设函数f(x)的定义域为R，若对任意的实数x均成立，则称函数f(x)为Ω函数．

(1)试判断函数和中哪些是Ω函数，并说明理由；

(2)若函数是定义在R上的奇函数，且满足对一切实数，均有，求证：函数f(x)一定是Ω函数；

(3)求证：若a＞1，则函数是Ω函数．

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