摘要：21．设正数数列的前项和为.且对任意的.是和的等差中项． (1)求数列的通项公式, (2)在集合..且中.是否存在正整数.使得不等式对一切满足的正整数都成立?若存在.则这样的正整数共有多少个?并求出满足条件的最小正整数的值,若不存在.请说明理由, (3)请构造一个与数列有关的数列.使得存在.并求出这个极限值． 解:(1)由题意得. ①. 当时..解得. 当时.有 ②.①式减去②式得. 于是... 因为.所以.所以数列是首项为.公差为的等差数列. 所以的通项公式为()． (2)设存在满足条件的正整数.则.. . 又..-....-.. 所以..-.均满足条件.它们组成首项为.公差为的等差数列． 设共有个满足条件的正整数.则.解得． 所以.中满足条件的正整数存在.共有个.的最小值为． (3)设.即.则 .其极限存在.且 ．注:(为非零常数).(为非零常数).(为非零常数.)等都能使存在．

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