已知函数f （x）=

3

sin xcos x-cos²x-

1

2

，x∈R．
（1）求函数f （x）的最小值和最小正周期；
（2）若函数g （x）的图象与函数f （x）的图象关于y轴对称，记F （x）=f （x）+g （x），求F （x）的单调递增区间．

已知函数f（x）的定义域为R，则下列命题中：
①y=f（x）为偶函数，则y=f（x+2）的图象关于y轴对称；
②y=f（x+2）为偶函数，则y=f（x）关于直线x=2对称；
③若f（x-2）=f（2-x），则y=f（x）关于直线x=2对称；
④y=f（x-2）和y=f（2-x）的图象关于直线x=2对称．
其中正确命题序号有．（填上所有正确命题序号）

已知函数f（x）=lg|x-1|，下列命题中所有正确的序号是．
（1）函数f（x）的定义域和值域均为R；
（2）函数f（x）在（-∞，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增；
（3）函数f（x）的图象关于y轴对称；
（4）函数f（x+1）为偶函数；
（5）若f（a）＞0则a＜0或a＞2．

已知函数f（x）=mx³+nx²（m、n∈R，m≠0）的图象在（2，f（2））处的切线与x轴平行．
（1）求n，m的关系式并求f（x）的单调减区间；
（2）证明：对任意实数0＜x₁＜x₂＜1，关于x的方程：f′(x)-

f(x2)-f(x1)

x2-x1

=0在（x₁，x₂）恒有实数解
（3）结合（2）的结论，其实我们有拉格朗日中值定理：若函数f（x）是在闭区间[a，b]上连续不断的函数，且在区间（a，b）内导数都存在，则在（a，b）内至少存在一点x₀，使得f′(x0)=

f(b)-f(a)

b-a

．如我们所学过的指、对数函数，正、余弦函数等都符合拉格朗日中值定理条件．试用拉格朗日中值定理证明：
当0＜a＜b时，

b-a

b

＜ln

b

a

＜

b-a

a

（可不用证明函数的连续性和可导性）．

已知函数f（x）=ag^x，g（x）=lnx-lna，其中a为常数，函数y=f（x）在其图象和与坐标轴的交点处的切线为l₁，函数y=g（x）在其图象与坐标轴的交点处的切线为l₂，l₁平行于l₂．
（1）求函数y=g（x）的解析式；
（2）若关于x的不等式

x-m

g(x)

＞

x

恒成立，求实数m的取值范围．