Question

已知函数f（x）=ag^x，g（x）=lnx-lna，其中a为常数，函数y=f（x）在其图象和与坐标轴的交点处的切线为l₁，函数y=g（x）在其图象与坐标轴的交点处的切线为l₂，l₁平行于l₂．
（1）求函数y=g（x）的解析式；
（2）若关于x的不等式

x-m

g(x)

＞

x

恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用导数的几何意义，分别求两函数在与两坐标轴的交点处的切线斜率，令其相等解方程即可得a值
（2）不等式

x-m

g(x)

＞

x

恒成立，即当x＞1时 m＜x-

x

lnx恒成立；当0＜x＜1时得 m＞x-

x

lnx恒成立．构造新函数 φ(x)=x-

x

lnx，求其在[1，+∞）的最小值，在（0，1]上的最大值即可．

解答：解：（1）f′(x)=aex，g′(x)=

1

x

．
y=f（x）的图象与坐标轴交于点（0，a）；y=g（x）的图象与坐标轴交于点（a，0），
∴f′（0）=g′（a）．
∴a=

1

a

．
∵a＞0，∴a=1
∴g（x）=lnx．
（2）①当x＞1时，由

x-m

lnx

＞

x

得 m＜x-

x

lnx恒成立．
令 φ(x)=x-

x

lnx，则 φ′(x)=

2 x -2-lnx

2 x

．
令 h(x)=2

x

-2-lnx，则 h′(x)=

1

x

(1-

1

x

)＞0，
∴h（x）在[1，+∞）上递增．
∴?x＞1，h（x）＞h（1）=0．
∴φ′（x）＞0．
∴φ（x）在[1，+∞）上递增．
∴m≤φ（1）=1．
②当0＜x＜1时，由

x-m

lnx

＞

x

得 m＞x-

x

lnx即m＞φ（x）恒成立．
同①可得φ（x）在（0，1]上递减．
∴m≥φ（1）=1．
综合①②得m=1．

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的单调性、函数恒成立问题等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．