已知两点在抛物线上，点满足

   （I）求证：；

   （Ⅱ）设抛物线过两点的切线交于点

   （1）求证：点N在一定直线上；

   （2）设，求直线在轴上截距的取值范围。

已知抛物线，点P（1，－1）在抛物线C上，过点P作斜率为k₁、k₂的两条直线，分别交抛物线C于异于点P的两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且满足k₁+k₂=0.

   （I）求抛物线C的焦点坐标；

   （II）若点M满足，求点M的轨迹方程.

已知抛物线点的坐标为（12，8），N点在抛物线C上，且满足，O为坐标原点．
（I）求抛物线C的方程；
（II）以M点为起点的任意两条射线l₁，l₂的斜率乘积为l，并且l₁与抛物线C交于A、B两点，l₂与抛物线C交于D、E两点，线段AB、DE的中点分别为G、H两点．求证：直线GH过定点，并求出定点坐标．

已知抛物线S的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，的三个顶点都在抛物线上，且的重心为抛物线的焦点，若BC所在直线的方程为

（I）求抛物线S的方程；

（II）若O是坐标原点，P、Q是抛物线S上的两动点，且满足.试说明动直线PQ是否过一个定点.

已知抛物线S的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，的三个顶点都在抛物线上，且的重心为抛物线的焦点，若BC所在直线的方程为

   （I）求抛物线S的方程；

   （II）若O是坐标原点，P，Q是抛物线S上的两动点，且满足.试说明动直线PQ是否过定点.