Question

已知抛物线S的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，的三个顶点都在抛物线上，且的重心为抛物线的焦点，若BC所在直线的方程为

（I）求抛物线S的方程；

（II）若O是坐标原点，P、Q是抛物线S上的两动点，且满足.试说明动直线PQ是否过一个定点.

Answer 1

解：（I） 设抛物线S的方程为                                              

由 可得                              

由，有，或

设则

                              

设，由的重心为则，

                                                                  

∵点A在抛物线S上，∴  ∴                            

∴抛物线S的方程为                                              

   （II）当动直线的斜率存在时，

设动直线方程为，显然                             

∵，∴

设

∴ ∴                                             

将代入抛物线方程，得∴

从而∴

∵，∴∴动直线方程为，

此时动直线PQ过定点                                             

当PQ的斜率不存在时，显然轴，又，∴为等腰直角三角形.

由 得到，

此时直线PQ亦过点.                                                         

综上所述，动直线PQ过定点.