(本小题满分12分)

如图，四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁的底面边长和侧棱长都等于2，平面A₁ACC₁⊥平面ABCD，∠ABC＝∠A₁AC＝60°，点O为底面对角线AC与BD的交点.

  （Ⅰ）证明：A₁O⊥平面ABCD；

  （Ⅱ）求二面角D—A₁A—C的平面角的正切值.

(本小题满分12分)

如图，在正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AB，点E、M分别为A₁B、C₁C的中点，过点A₁，B，M三点的平面A₁BMN交C₁D₁于点N.

（Ⅰ）求证：EM∥平面A₁B₁C₁D₁；

（Ⅱ）求二面角B—A₁N—B₁的正切值.

（本小题满分12分）如图，已知四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，A₁D⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA₁=2。

   （I）求证：C₁D//平面ABB₁A₁；

   （II）求直线BD₁与平面A₁C₁D所成角的正弦值；

   （Ⅲ）求二面角D—A₁C₁—A的余弦值。

（本小题满分12分）

如图，在正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，AB=1，AA₁=2，E为棱AA₁上一点，且平面BDE。

   （I）求直线BD₁与平面BDE所成角的正弦值；

   （II）求二面角C—BE—D的余弦值。