摘要： 设函数 (1)求的单调区间和极值, (2)讨论方程的实根的个数. [解析](1),由.得x=-1或x=3.............2分 列表如下: x (-∞.-1) -1 (-1, 3) 3 - 0 + 0 - f(x) -8 ∴函数f(x)的极大值为.极小值为-8 函数f(x)单调递增区间是(-∞.-1)和.递减区间是(-1, 3)-- (2)令.根据(1)的分析.可在同一坐标系内作出它们的大致图象.其中是一条与x轴平行的可移动的平行直线. -----------------------------.9分 ∴①当a=或a=-8时.原方程有且仅有两个不相等的实数根,--10分 ②当时.原方程有且仅有一个实数根,--------11分 ③当时.原方程有三个实数根--------------12分 [评析]本题考查了导数的运用及三次方程实数根的情况.为利用导数知识来分析三次方程的实根个数提供了新的研究视角.第一问属于基础知识.第二问.借助数形结合的方法.把方程根的个数问题转化为图象交点个数问题.并利用导数知识.分析三次函数的性质.从而作出三次函数的大致图象.为数形结合解决问题提供了保证.

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