摘要：4．(2005年高考·北京卷·理16) 如图.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中.AB=AD=2.DC=. AC⊥BD.垂足为E. (Ⅰ)求证BD⊥A1C, (Ⅱ)求二面角A1-BD-C­1的大小, (Ⅲ)求异面直线AD与BC1所成角的大小. 解法一: (Ⅰ)在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中. ∵A1A⊥底面ABCD. ∴AC是A1C在平面ABCD上的射影. ∵BD⊥AC. ∴BD⊥A1C. (Ⅱ)连结A1E.C1E.A1C1. 与(Ⅰ)同理可证BD⊥A1E.BD⊥C1E. ∴∠A1EC1二面角A1-BD-C1的平面角. ∵AD⊥DC. ∴∠A1D1C1=∠ADC=90°. 又A1D1=AD=2.D1C1=DC=2. AA1=.且AC⊥BD. ∴A1C1=4.AE=1.EC=3. ∴A1E=2.C1E=2. 在△A1EC1中.A1C12=A1E2+C1E2. ∴∠A1EC1=90°. 即二面角A1-BD-C1的大小为90°. (Ⅲ)过B作BF//AD交AC于F.连结FC1. 则∠C1BF就是AD与BC1所成的角. ∵AB=AD=2.BD⊥AC.AE=1. ∴BF=2.EF=1.FC=2.BC=DC. ∴FC1=. 在△BFC1中. ∴ 即异面直线AD与BC1所成角的大小为. 解法二: (Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)如图.以D为坐标原点.DA.DC.DD1所在直线分别为x轴.y轴.z轴.建立空间直角坐标系. 连结A1E.C1F.A1C1. 与(Ⅰ)同理可证.BD⊥A1E.BD⊥C1E. ∴∠A1EC1为二面角A1-BD-C1的平面角. .A.C1(0...).B(3..0) ∴异面直线AD与BC1所成角的大小为arccos. 解法三: (I)同解法一. (II)如图.建立空间直角坐标系.坐标原点为E. 连结A1E.C1E.A1C1. 与(I)同理可证.BD⊥A1E.BD⊥C1E. ∴∠A1EC1为二面角A1-BD-C1的平面角. 由E.A1(0.-1. . .D(.0.0).B(.0.0).C1(0.3.). 得. ∵ ∴ ∴异面直线AD与BC1所成角的大小为arccos.

网址：http://m.1010jiajiao.com/timu3_id_498734[举报]