摘要：如图.等腰梯形ABCD中.AD∥BC.AD=AB=CD=2.∠C=60°.M是BC的中点． (1)求证:△MDC是等边三角形, (2)将△MDC绕点M旋转.当MD与AB交于一点E.MC同时与AD交于一点F时.点E.F和点A构成△AEF．试探究△AEF的周长是否存在最小值．如果不存在.请说明理由,如果存在.请计算出△AEF周长的最小值． 考点:等腰梯形的性质,全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质,旋转的性质. 专题:证明题,几何综合题. 分析:(1)过点D作DP⊥BC.于点P.过点A作AQ⊥BC于点Q.得到CP=BQ=AB.CP+BQ=AB.根据ADPQ是矩形.AD=PQ.推出BC=2AD.由点M是BC的中点.推出BM=CM=AD=AB=CD.根据等边三角形的判定即可得到答案, (2)△AEF的周长存在最小值.理由是连接AM.由ABMD是菱形.得出△MAB.△MAD和△MC′D′是等边三角形.推出∠BME=∠AMF.证出△BME≌△AMF(ASA).得出BE=AF.ME=MF.推出△EMF是等边三角形.根据MF的最小值为点M到AD的距离.即EF的最小值是.即可求出△AEF的周长． 解答:(1)证明:过点D作DP⊥BC.于点P.过点A作AQ⊥BC于点Q. ∵∠C=∠B=60° ∴CP=BQ=AB.CP+BQ=AB. 又∵ADPQ是矩形.AD=PQ. 故BC=2AD. 由已知.点M是BC的中点. BM=CM=AD=AB=CD. 即△MDC中.CM=CD.∠C=60°. 故△MDC是等边三角形． (2)解:△AEF的周长存在最小值.理由如下: 连接AM.由(1)平行四边形ABMD是菱形. △MAB.△MAD和△MC′D′是等边三角形. ∠BMA=∠BME+∠AME=60°.∠EMF=∠AMF+∠AME=60°. ∴∠BME=∠AMF. 在△BME与△AMF中.BM=AM.∠EBM=∠FAM=60°. ∴△BME≌△AMF(ASA). ∴BE=AF.ME=MF.AE+AF=AE+BE=AB. ∵∠EMF=∠DMC=60°.故△EMF是等边三角形.EF=MF. ∵MF的最小值为点M到AD的距离.即EF的最小值是. △AEF的周长=AE+AF+EF=AB+EF. △AEF的周长的最小值为2+. 答:存在.△AEF的周长的最小值为2+． 点评:本题主要考查对等边三角形的性质和判定.旋转的性质.全等三角形的性质和判定.等腰梯形的性质等知识点的理解和掌握.综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．

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