摘要： 已知抛物线. (Ⅰ)若..求该抛物线与轴公共点的坐标, (Ⅱ)若.且当时.抛物线与轴有且只有一个公共点.求的取值范围, (Ⅲ)若.且时.对应的,时.对应的.试判断当时.抛物线与轴是否有公共点?若有.请证明你的结论,若没有.阐述理由． 解(Ⅰ)当.时.抛物线为. 方程的两个根为.． ∴该抛物线与轴公共点的坐标是和． ················································ 2分 (Ⅱ)当时.抛物线为.且与轴有公共点． 对于方程.判别式≥0.有≤． ········································ 3分 ①当时.由方程.解得． 此时抛物线为与轴只有一个公共点．································· 4分 ②当时. 时.. 时.． 由已知时.该抛物线与轴有且只有一个公共点.考虑其对称轴为. 应有 即 解得． 综上.或． ················································································ 6分 (Ⅲ)对于二次函数. 由已知时.,时.. 又.∴． 于是．而.∴.即． ∴． ············································································································ 7分 ∵关于的一元二次方程的判别式 . ∴抛物线与轴有两个公共点.顶点在轴下方．····························· 8分 又该抛物线的对称轴. 由... 得. ∴． 又由已知时.,时..观察图象. 可知在范围内.该抛物线与轴有两个公共点． ············································ 10分 77如图1.已知四边形OABC中的三个顶点坐标为O(0.0).A(0.n).C(m.0)．动点P从点O出发依次沿线段OA.AB.BC向点C移动.设移动路程为z.△OPC的面积S随着z的变化而变化的图象如图2所示．m.n是常数. m＞1.n＞0． (1)请你确定n的值和点B的坐标, (2)当动点P是经过点O.C的抛物线y＝ax+bx+c的顶点.且在双曲线y＝上时.求这时四边形OABC的面积． 解:(1) 从图中可知.当P从O向A运动时.△POC的面积S＝mz. z由0逐步增大到2,则S由0逐步增大到m.故OA＝2.n＝2 . 同理.AB＝1.故点B的坐标是 (2)解法一: ∵抛物线y＝ax+bx+c经过点O(0.0).C(m .0),∴c＝0.b＝-am. ∴抛物线为y＝ax-amx.顶点坐标为(.-am2). 如图1.设经过点O.C.P的抛物线为l. 当P在OA上运动时.O,P都在y轴上. 这时P,O,C三点不可能同在一条抛物线上. ∴这时抛物线l不存在, 故不存在m的值..① 当点P与C重合时.双曲线y＝不可能经过P, 故也不存在m的值.② (说明:①②任做对一处评1分.两处全对也只评一分) 当P在AB上运动时.即当0<x≤1时.y＝2. 抛物线l的顶点为P(.2). ∵P在双曲线y＝上.可得 m＝.∵>2,与 x＝≤1不合.舍去.③ 容易求得直线BC的解析式是:. 当P在BC上运动.设P的坐标为 (x,y).当P是顶点时 x＝. 故得y＝＝.顶点P为(.). ∵1< x＝<m.∴m>2.又∵P在双曲线y＝上. 于是.×＝.化简后得5m-22m+22＝0, 解得,, 与题意2<x＝<m不合,舍去.④ 故由①②③④.满足条件的只有一个值:. 这时四边形OABC的面积＝＝. (2)解法二: ∵抛物线y＝ax+bx+c经过点O(0.0).C(m .0) ∴c＝0.b＝-am. ∴抛物线为y＝ax-amx.顶点坐标P为(.-am2). ∵m＞1.∴＞0.且≠m. ∴P不在边OA上且不与C重合. ∵P在双曲线y＝上.∴×(- am2)＝即a＝- . .①当1＜m≤2时.＜≤1.如图2,分别过B.P作x轴的垂线. M.N为垂足.此时点P在线段AB上.且纵坐标为2. ∴-am2＝2.即a＝-. 而a＝- .∴- ＝-.m＝＞2.而1＜m≤2.不合题意.舍去. ②当m≥2时.＞1.如图3,分别过B.P作x轴的垂线.M.N为垂足.ON＞OM. 此时点P在线段CB上.易证Rt△BMC∽Rt△PNC. ∴BM∶PN＝MC∶NC.即: 2∶PN＝(m-1)∶.∴PN＝ 而P的纵坐标为- am2.∴＝- am2.即a＝ 而a＝-.∴- ＝ 化简得:5m2-22m+22＝0.解得:m＝ . 但m≥2.所以m＝舍去. 取m ＝ . 由以上,这时四边形OABC的面积为: (AB+OC) ×OA＝(1+m) ×2＝.

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