摘要：如图,在平面直角坐标系中,已知△AOB是等边三角形,点A的坐标是(0,4),点B在第一象限,点P是X轴上的一个动点,连接AP,并把△AOP绕点A按逆时针方向旋转,使边AO与AB重合,得到△ABD. (1)求直线AB的关系式; (2)当点P运动到点( ,0)时,求此时DP的长及点D的坐标; (3)是否存在点P,使△OPD的面积等于 ,若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由. 图1 图2 [试题来源]2008年中考题. [命题意图]①解决问题方法多.思路宽,给学生提供了发挥的空间. ②解决“动点 问题的关键是:寓动于静,考查点或图形的特殊位置,即暂时静止的一瞬,为整个解题过程寻找方向.方法.突破口,把握变量与不变量之间的关系,从而再确定所需求的结论. ③对于△OPD面积等于,关键是抓住其本质:先确定点P的位置.同时此题也渗透了数学“分类讨论 的思想,与三角函数.全等三角形知识联系在一起,考查了学生的综合能力. [参考答案](1)如图.过点B作BE⊥y轴于点E.作BF⊥x 轴于点F.由已知得 BF=OE=2, OF= = ∴点B的坐标是( .2) 设直线AB的解析式是y=kx+b.则有 解得 ) ∴直线AB的解析式是y= x+4 (2) 如图.∵△ABD由△AOP旋转得到. ∴△ABD≌△AOP.∴AP=AD.∠DAB=∠PAO. ∴∠DAP=∠BAO=600. ∴△ADP是等边三角形. ∴DP=AP= . 如图.过点D作DH⊥x 轴于点H. 延长EB交DH于点G, 则BG⊥DH. 方法(一) 在Rt△BDG中.∠BGD=900, ∠DBG=600. ∴BG=BD•cos600=×=. DG=BD•sin600=×= . ∴OH=EG=, DH= ∴点D的坐标为( , ) 方法(二) 易得∠AEB=∠BGD=900.∠ABE=∠BDG. ∴△ABE∽△BDG. ∴ 而AE=2, BD=OP= . BE=2, AB=4,则有 .解得BG= .DG= ∴OH= , DH= ∴点D的坐标为(, ) (3)假设存在点P, 在它的运动过程中,使△OPD的面积等于 . 设点P为(t.0).下面分三种情况讨论: ①当t＞0时.如图.BD=OP=t, DG=t, ∴DH=2+t. ∵△OPD的面积等于 . ∴ . 解得 , . ∴点P1的坐标为 (, 0 ) ②当＜t≤0时.如图. BD=OP=-t, BG=-t, ∴DH=GF=2-(-t)=2+t. ∵△OPD的面积等于.∴ . 解得 , . ∴点P2的坐标为(, 0).点P3的坐标为(, 0). ③当t≤ 时.如图. BD=OP=-t, DG=-t, ∴DH=-t-2. ∵△OPD的面积等于 . ∴ . 解得 , ∴点P4的坐标为(, 0) 综上所述点P坐标分别为P1 (, 0).P2 (, 0).P3 (, 0) .P4 ( , 0).

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