Question

在平面直角坐标系中，△AOB的位置如图所示，已知∠AOB＝90º，AO＝BO，点A的坐标为（－3，1）．

（1）求点B的坐标；

（2）求过A，O，B三点的抛物线的解析式；

（3）设抛物线的对称轴为直线，P是直线上的一点，且△PAB的面积等于△AOB．求点P的坐标。

Answer 1

解：（1）作AC⊥x轴，垂足为C，作BD⊥x轴，垂足为D．

    则∠ACO＝∠ODB＝90º，

∴ ∠AOC＋∠OAC＝90º．

又∵∠AOB＝90º，

∴ ∠AOC＋∠BOD＝90º．

∴ ∠OAC＝∠BOD．

    又∵ AO = BO，

∴ △ACO ≌△ODB．

∴ OD＝AC＝1，DB＝OC＝3．  

∴  点B的坐标为(1，3)．  

（2）因抛物线过原点，故可设所求抛物线的解析式为．

将A(－3，1)，B(1，3)两点代入得，

   解得 ；

故所求抛物线的解析式为

（3）设直线AB的方程为：，那么有：

解得：

故直线AB的方程为：  ∴

抛物线的对称轴L的方程是：

    解得

∴F点坐标为（）      

∵ 轴，的面积等于的面积

∴P点到直线AB的距离等于O点到AB的距离

即（P点有两种情况）

在中，

∴

∴

∴P的坐标为（）

即