如图，已知正方形ABCD的各边中点分别为E、F、G、H．点M为直线BC上一动点，以线段EM为边长作正方形EMNP．
（1）如图①，当M点在点B的左侧时，请你判断FM和HP有何数量关系？点P是否在直线FH上？
（2）如图②，当M点在BC边上时，请你判断FM和HP有何数量关系？点P是否在直线FH上？
（3）如图③，当M点在点C的右侧时，请你判断FM和HP有何数量关系？点P是否在直线FH上？请分别写出各小题的结论，并从三小题中任选一题证明你的结论．

如图，已知一次函数y=x+2的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，圆O₁过以OB为边长的正方形OBCD的四个顶点，两动点P、Q同时从点A出发在四边形ABCD上运动，其中动点P以每秒

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个单位长度的速度沿A→B→C运动后停止，动点Q以每秒2个单位长度的速度沿A→O→D→C→B运动，AO₁交于y轴于E点，P、Q点运动的时间为t（秒）
（1）点E的坐标是；
（2）三角形ABE的面积是；
（3）当Q点运动在线段AD上时，是否存在某一时刻t（秒），使得S_△APQ：S_△ABE=3：4？若存在，请确定t的值和直线PQ所对应的函数解析式；若不存在，请说明理由？

如图，已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E，顶点M的坐标为 （2，4）；矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3．
（1）直接写出该抛物线所对应的函数关系式；
（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以每秒1个单位长度的速度从A点出发沿射线AB匀速移动，设它们运动的时间为t秒（t＞0），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）．
①填空：当0＜t≤3时，PN=．（用含t的代数式表示）；
②在运动的过程中，以P、N、C、D为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，请求出此时t的值，若不能，请说明理由．
③设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S，试问S是否存在最小值？为什么？