Question

如图，已知一次函数y=x+2的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，圆O₁过以OB为边长的正方形OBCD的四个顶点，两动点P、Q同时从点A出发在四边形ABCD上运动，其中动点P以每秒

2

个单位长度的速度沿A→B→C运动后停止，动点Q以每秒2个单位长度的速度沿A→O→D→C→B运动，AO₁交于y轴于E点，P、Q点运动的时间为t（秒）
（1）点E的坐标是

（0，

2

3

）

；
（2）三角形ABE的面积是

4

3

；
（3）当Q点运动在线段AD上时，是否存在某一时刻t（秒），使得S_△APQ：S_△ABE=3：4？若存在，请确定t的值和直线PQ所对应的函数解析式；若不存在，请说明理由？

Answer 1

分析：（1）先求出A点坐标（-2，0），B点坐标（0，2），利用正方形的性质可得到O₁的坐标为（1，1），然后利用待定系数法可求出直线O₁A的解析式为y=

1

3

x+

2

3

，再令x=0，则y=

2

3

，即可得到E点坐标；
（2）利用三角形的面积公式S_△ABE=

1

2

BE•OA计算即可；
（3）由（1）得到△OAB为等腰直角三角形，则AB=

2

OB=2

2

，由于动点Q以每秒2个单位长度的速度沿A→O→D→C→B运动，动点P以每秒

2

个单位长度的速度沿A→B→C运动，而Q点运动在线段AD上时，则有0≤t≤2，此时点P在AB上，过点P作PF⊥AD于点F，利用S_△APQ：S_△ABE=3：4，得到S_△APQ=

3

4

S_△ABE=

3

4

×

4

3

=1，又AP=

2

t，则PF=

2

2

AP=t，而AQ=2t，所以有S_△APQ=

1

2

AQ•PF=

1

2

×2t×t=1，可求出k=1，易得点Q与点O重合，即点Q的坐标为（0，0），OF=1，可得到点P坐标为（-1，1），然后利用待定系数法可求出直线PQ的解析式．

解答：解：（1）对于y=x=2，令x=0，则y=2；令y=0，则x+2=0，解得x=-2
∴A点坐标为（-2，0），B点坐标为（0，2），
∵正方形OBCD是OB为边长的正方形，
∴O₁的坐标为（1，1）
设直线O₁A的解析式为y=kx+b，
把A（-2，0），O₁（1，1）分别代入得

-2k+b=0 k+b=1

，解得

k= 1 3 b= 2 3

，
∴直线O₁A的解析式为y=

1

3

x+

2

3

，
令x=0，则y=

2

3

，
∴点E坐标为（0，

2

3

）；
（2）S_△ABE=

1

2

BE•OA=

1

2

×（2-

2

3

）×2=

4

3

；
故答案为（0，

2

3

）；

4

3

；
（3）存在．理由如下：
∵OA=OB=2，AD=4，
∴△OAB为等腰直角三角形，则AB=

2

OB=2

2

，
∵动点Q以每秒2个单位长度的速度沿A→O→D→C→B运动，动点P以每秒

2

个单位长度的速度沿A→B→C运动，而Q点运动在线段AD上时，
∴0≤t≤2，此时点P在AB上，
过点P作PF⊥AD于点F，如图，
∵S_△APQ：S_△ABE=3：4，
∴S_△APQ=

3

4

S_△ABE=

3

4

×

4

3

=1，
∵AP=

2

t，
∴PF=

2

2

AP=t，
而AQ=2t，
∴S_△APQ=

1

2

AQ•PF=

1

2

×2t×t=1，
∴t=1，
∴AQ=2t=2×1=2，PF=1，
∵AO=2，
∴点Q与点O重合，即点Q的坐标为（0，0），OF=1，
∴点P坐标为（-1，1）
设直线PQ的解析式为y=mx，
把P（-1，1）代入得1=-m，即m=-1，
∴直线PQ的解析式是y=-x．

点评：本题考查了圆的综合题：圆上的点到圆心的距离都等于圆的半径；待定系数法是求函数解析式常用的方法；熟练掌握正方形和等腰直角三角形的性质以及坐标轴上点的坐标特点．