摘要：如图1.在平面直角坐标系中.有一张矩形纸片OABC.已知O(0.0).A(4.0).C(0.3).点P是OA边上的动点(与点O.A不重合)．现将△PAB沿PB翻折.得到△PDB,再在OC边上选取适当的点E.将△POE沿PE翻折.得到△PFE.并使直线PD.PF重合． (1)设P(x.0).E(0.y).求y关于x的函数关系式.并求y的最大值, (2)如图2.若翻折后点D落在BC边上.求过点P.B.E的抛物线的函数关系式, 的情况下.在该抛物线上是否存在点Q.使△PEQ是以PE为直角边的直角三角形?若不存在.说明理由,若存在.求出点Q的坐标． 解:(1)由已知PB平分∠APD.PE平分∠OPF.且PD.PF重合.则∠BPE=90°．∴∠OPE+∠APB=90°．又∠APB+∠ABP=90°.∴∠OPE=∠PBA． ∴Rt△POE∽Rt△BPA．--------------------------2分 ∴．即．∴y=(0＜x＜4)． 且当x=2时.y有最大值．------------------------4分 (2)由已知.△PAB.△POE均为等腰三角形.可得P(1.0).E(0.1).B(4.3)．--6分 设过此三点的抛物线为y=ax2+bx+c.则∴ y=．-----------------------------8分 知∠EPB=90°.即点Q与点B重合时满足条件．------------9分 直线PB为y=x-1.与y轴交于点． 将PB向上平移2个单位则过点E(0.1). ∴该直线为y=x+1．---------------------------10分 由得∴Q(5.6)． 故该抛物线上存在两点Q满足条件．--------------12分

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