Question

如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（-8，0），直线BC经过点B（-8，6），C（0，6），将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转α度得到四边形OA′B′C′，此时直线OA′、B′C′分别与直线BC相交于P、Q．
（1）四边形OA′B′C′的形状是

 

，当α=90°时，

BP

PQ

的值是

 

；
（2）①如图2，当四边形OA′B′C′的顶点B′落在y轴正半轴上时，求

BP

PQ

的值；
②如图3，当四边形OA′B′C′的顶点B′落在直线BC上时，求△OPB′的面积；
（3）在四边形OABC旋转过程中，当0°＜α≤180°时，是否存在这样的点P和点Q，使BP=

1

2

BQ？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据有一个角是直角的平行四边形进行判断当α=90°时，就是长与宽的比；
（2）①利用相似三角形求得CP的比，就可求得BP，PQ的值；
②根据勾股定理求得PB′的长，再根据三角形的面积公式进行计算．
（3）构造全等三角形和直角三角形，运用勾股定理求得PC的长，进一步求得坐标．

解答：解：（1）图1，四边形OA′B′C′的形状是矩形；根据题意即是矩形的长与宽的比，即

4

3

．

（2）①图2∵∠POC=∠B′OA′，∠PCO=∠OA′B′=90°，
∴△COP∽△A′OB′．
∴

CP

A′B′

=

OC

OA′

，即

CP

6

=

6

8

，
∴CP=

9

2

，BP=BC-CP=

7

2

．
同理△B′CQ∽△B′C′O，
∴

CQ

C′O

=

B′C

B′C′

，即

CQ

6

=

10-6

8

，
∴CQ=3，BQ=BC+CQ=11．
∴

BP

PQ

=

7 2

9 2 +3

=

7

15

；
②图3，在△OCP和△B′A′P中，

∠OPC=∠B′PA′ ∠OCP=∠A′=90° OC=B′A′

，
∴△OCP≌△B′A′P（AAS）．
∴OP=B′P．设B′P=x，
在Rt△OCP中，（8-x）²+6²=x²，
解得x=

25

4

．
∴S_△OPB′=

1

2

×

25

4

×6=

75

4

．

（3）存在这样的点P和点Q，使BP=

1

2

BQ．
点P的坐标是P₁（-9-

3

2

6

，6），P₂（-

7

4

，6）．
【对于第（3）题，我们提供如下详细解答，对学生无此要求】
过点Q画QH⊥OA′于H，连接OQ，则QH=OC′=OC，
∵S_△POQ=

1

2

PQ•OC，S_△POQ=

1

2

OP•QH，∴PQ=OP．
设BP=x，∵BP=

1

2

BQ，∴BQ=2x，
如图4，当点P在点B左侧时，
OP=PQ=BQ+BP=3x，
在Rt△PCO中，（8+x）²+6²=（3x）²，
解得x1=1+

3

2

6

，x2=1-

3

2

6

（不符实际，舍去）．
∴PC=BC+BP=9+

3

2

6

，
∴P₁（-9-

3

2

6

，6）．
如图5，当点P在点B右侧时，
∴OP=PQ=BQ-BP=x，PC=8-x．
在Rt△PCO中，（8-x）²+6²=x²，解得x=

25

4

．
∴PC=BC-BP=8-

25

4

=

7

4

，
∴P₂（-

7

4

，6），
综上可知，存在点P₁（-9-

3

2

6

，6），P₂（-

7

4

，6），使BP=

1

2

BQ．

点评：特别注意在旋转的过程中的对应线段相等，能够用一个未知数表示同一个直角三角形的未知边，根据勾股定理列方程求解．