试卷类型:A广东省湛江市2009年普通高考测试题(二)数学本试卷共4页.共21小题.满分150分.考试用时120分钟.注意事项: 1．答卷前.考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号——青夏教育精英家教网——

试卷类型：A

广东省湛江市2009年普通高考测试题(二)

数学(理科)

本试卷共4页，共21小题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上，用2B铅笔将答题卡试卷类型(A)填涂在答题卡上。在答题卡右上角的“试室号”和“座位号”栏填写试室号、座位号，将相应的试室号、座位号信息点涂黑。

2．选择题每小题选出答案后，用2B型铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

参考公式：

棱锥的体积公式如果事件、相互独立，那么

其中是底面面积，是高

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若集合，，则集合=（）

A． B． C． D．

2．若向量，，则=（）

A． B． C． D．

3．若方程在内有解，则的图象是（）

4．若直线与圆相切，且为锐角，则这条直线的斜率是（）

A． B． C． D．

5．已知，，且，，成等比数列，则（）

A．有最大值 B．有最大值

C．有最小值 D．有最小值

6．已知中，A、B的坐标分别为和，若三角形的周长为10，则顶点C的轨迹方程是（）

A．（） B．（）

C．（） D．（）

7．已知棱长为1的正方体中，E，F，M

分别是、、的中点，又P、Q分别在线段

、上，且，，设面

面，则下列结论中不成立的是（）

A．面

B．

C．面与面不垂直

D．当变化时，不是定直线

8．设函数的定义域为，若存在常数，使对一切实数均成立，则称为“倍约束函数”．现给出下列函数：①；②；③；④；⑤是定义在实数集上的奇函数，且对一切，均有．其中是“倍约束函数”的有（）

A．1个 B．2个

C．3个 D．4个

(一)必做题(9～12题)

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分．满分30分．

9．曲线在处的切线的倾斜角为．

10．某网络公司为了调查一住宅区连接互联网

情况，从该住宅区28000住户中随机抽取

了210户进行调查，调查数据如右图，

则估计该住宅区已接入互联网的住户数

是．

11．设，其中、满足，

若的最小值为，则的最大值为．

12．学校安排4名教师在六天里值班，每天只安排一名教师，每人至少安排一天，至多安排两天，且这两天要相连，那么不同的安排方法种数是 (用数字作答)．

(二)选做题(13～15题，考生只能从中选做二题)

13．(坐标系与参数方程选做题)曲线：（为参数），若以点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，则该曲线的极坐标方程是．

14．(不等式选讲选做题)已知关于的不等式的解集不是空集，则的最小值是。

15．(几何证明选讲选做题)如图，半圆的半径为，

为直径，为的中点，D为的三分之一

分点，且的长等于两倍的长。连结并延

长交半圆以为切点的切线于E，则= 。

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．(本小题满分12分)

已知函数．

(Ⅰ)求函数的最小正周期；

(Ⅱ)当时，求函数的单调区间。

17．(本小题满分12分)

某地区举办青少年科技创新大赛，有50件科技创新作品进入了最后的评审阶段，大赛组委会对这50件作品分别从“艺术与创新”和“功能与实用”两项进行评分，每项评分均按等级采用5分制，若设“艺术与创新”得分为，“功能与实用”得分为，统计结果如下表：

作品数量

功能与实用

1分

2分

3分

4分

5分

艺

术

与

创

新

1分

1

3

1

0

1

2分

1

0

7

5

1

3分

2

1

0

9

3

4分

1

b

6

0

a

5分

0

0

1

1

3

(Ⅰ)求“艺术与创新为4分且功能与实用为3分”的概率；

(Ⅱ)若“功能与实用”得分的数学期望为，求、的值。

18．(本小题满分14分)

在四棱锥中，，

，平面，为

的中点，．

(Ⅰ)求四棱锥的体积；

(Ⅱ)若为的中点，求证：平面平面；

(Ⅲ)求二面角的大小．

19．(本小题满分14分)

设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上，恒成立，则称函数在上为“凸函数”．已知．

(Ⅰ)若为区间上的“凸函数”，试确定实数的值；

(Ⅱ)若当实数满足时，函数在上总为“凸函数”，求的最大值．

20．(本小题满分14分)

已知抛物线方程（，且）．

(Ⅰ)若抛物线焦点坐标为，求抛物线的方程；

(Ⅱ)若动圆过，且圆心在该抛物线上运动，E、F是圆和轴的交点，试探究是否可能为定值?若有可能，求出令为定值的条件，若无可能，请说明理由．

21．(本小题满分14分)

数列中，，，（）．

(Ⅰ)试求、的值，使得数列为等比数列；

(Ⅱ)设数列满足：，为数列的前项和．

证明：时，．

湛江市2009年普通高考测试题(二)

一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)

1．D 2．B 3．D 4．A 5．C 6．B 7．D 8．C

二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)

9．（） 10．12000 11．4 12．144 13．

14． 15．

三、解答题(本大题共6小题，共80分)

16．(本小题满分12分)

解：（Ⅰ）…………………………………2分

……………………………………………………3分

………………………………………………………5分

∴函数的最小正周期…………………………………………6分

（Ⅱ）当时，………………………………………8分

∴当即时，函数单调递增……………………10分

当即时，函数单调递减……………………12分

17．(本小题满分12分)

解：∵作品数量共有50件，∴…………①……………………2分

（Ⅰ）从表中可以看出，“艺术与创新为4分且功能与实用为3分”的作品数量为6件，

∴“艺术与创新为4分且功能与实用为3分”的概率为……………4分

（Ⅱ）由表可知“功能与实用”得分有1分、2分、3分、4分、5分五个等级，且每个等级分别有5件，件，15件，15件，年。

∴“功能与实用”得分的分布列为：

1

2

3

4

5

…………………………………8分

又∵“功能与实用”得分的数学期望为，

∴

与①式联立可解得：，……………………12分

18．(本小题满分14分)

解：（Ⅰ）在中，，，∴，……1分

在中，，，∴，…………2分

∴…………4分

则…………………………………………5分

（Ⅱ）∵平面，∴…………………………6分

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∴平面………………………7分

∵、分别为、中点，

∴………………………8分

∴平面………………………9分

∵平面，∴平面平面

………………………10分

（Ⅲ）取的中点，连结，则，

∴平面，过作于，

连接，则为二面角的平面角。

…………………………12分

∵为的中点，，，

∴，又，

∴，故

即三面角的大小为…………………………14分

19．(本小题满分14分)

解：由函数得，………………3分

(Ⅰ) 若为区间上的“凸函数”，则有在区间上恒成立，由二次函数的图像，当且仅当

，

即． …………………………………………………7分

(Ⅱ)当时，恒成立当时，恒成立．……………………………………………………………………………8分

当时，显然成立。 …………………………………9分

当，

∵的最小值是．

∴．

从而解得 …………………………………………………………………11分

当，

∵的最大值是，∴，

从而解得． ………………………………………………………………13分

综上可得，从而 ………………………………14分

20．(本小题满分14分)

解：（Ⅰ）∵抛物线的焦点为（），………………………1分

∴………………………………………………………………………2分

∴，所求方程为………………………………………4分

（Ⅱ）设动圆圆心为，（其中），、的坐标分别为，

因为圆过，故设圆的方程……………6分

∵、是圆和轴的交点

∴令得：…………………………………………………8分

则，

…………………10分

又∵圆心在抛物线上

∴ …………………………………………………………………11分

∴…………………………………．12分

∴当时，(定值)． ……………………………………………14分

21．(本小题满分14分)

解：（Ⅰ）若为等比数列，则存在，使

对成立。…………………2分

由已知：，代入上式，整理得

………①……………4分

∵①式对成立，

∴解得……………………………………5分

∴当，时，数列是公比为2的等比数列…………6分

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得：，即

所以……………………………8分

∵…………………………9分

时，

…………………………11分

现证：（）

证法1：

当时，，

而，，故时成立。…………………………12分

时，由

且得，，∴…………………14分

证法2：

时

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个

∴……………………………………14分

证法3：

（1）时，

，故时不等式成立……………………12分

（2）假设（）