天津市和平区2009届高三第二次质量调查（数学理）
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本试卷第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页。考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
注意事项：
1．答第Ⅰ前，考生务必将自己的姓名、准考证号、科目涂在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试卷上无效。
3．本卷共10小题，每小题5分，共50分。
参考公式：
锥体的体积公式
，其中
表示锥体的底面积，
表示锥体的高。
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1)已知复数
，则
等于
(A)
(B)
(C)
(D)
≤
(2)设变量
满足约束条件 
≤
，则目标函数
的最大值为
≥
(A)
(B)
(C)
(D)
(3)已知
与平行且方向相反的单位向量是
(A)
(B)
(C) 
(D)
(4)如果命题
，命题
，那么命题
是命题
的
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
(5)在等差数列
中，公差
，且
，那么
的值是
(A)
(B)
(C)
(D)
(6)下列四个函数中，既是
上的增函数，又是以
为最小正周期的偶函数是
(A)
(B)
(C)
(D)
(7)双曲线
的离心率
，则
为
(A)
(B)
(C)
(D)
(8)
的值是
(A)
(B)
(C)
(D)
(9)当曲线
与直线
有两个不同交点时，实数
的取值范围是
(A)
(B)
(C)
(D)
(10)甲、乙、丙、丁四人每人购买了2张社会福利彩票，若这8张彩票中获一、二、三等奖的各一张，则不同的获奖可能共有
(A)16种 (B) 36种
(C)42种 (D)60种
第Ⅱ卷
注意事项：
1．答卷前将密封线内的项目填写清楚。
2．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上。
3．本卷共12小题，共100分。
题号
二
三
总分
(17)
(18)
(19)
(20)
(21)
(22)
得分
(11)甲、乙两名同学在5次数学测验中的成绩统计如右面的
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上。
茎叶图所示，若甲、乙两人成绩的中位数分别是
、
，
则
____________。
(12)已知方程
有两个实数根，且一个根大于1，一个根小于1，则实数
取值范是____________。
(13)数列的前20项由右图所示的流程图依次输出的值
构成。则数列的一个通项公式
_____________。
(14)二项式
展开式中，
系数为60．则实数的值为
______________。
(15)如图，将正方体
截去四个三棱锥
、
、
，得到三棱锥
，则三棱锥与三棱锥的体积之比等于________________。 
(16)已知圆
的参数方程为
，(
为参数)，则点
与圆上的点的最
近距离等于_____________。
得分
评卷人
(17)(本小题满分12分)
三、解答题：本大题共6小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
在
中，
(Ⅰ)求
；
(Ⅱ)若?
，求边
的长。
得分
评卷人
(18)(本小题满分12分)
甲、乙、丙3人练习投篮，投进的概率分别是
，
(Ⅰ)现3人各投篮一次，求3人都没有投进的概率；
(Ⅱ)用
表示丙投篮3次的进球数，求随机变量的分布列及数学期望。
得分
评卷人
(19)(本小题满分12分)
如图，在四棱锥
中，底面
为矩形，
面，
。
(Ⅰ)求证：当
时，平面
面
；
(Ⅱ) 当
时，求二面角
的大小。
得分
评卷人
(20)(本小题满分12分)
已知函数
(Ⅰ)若
在区间
上为减函数，求的取值范围；
(Ⅱ)讨论
在内的极值点的个数。
得分
评卷人
(21)(本小题满分14分)
已知椭圆
的左、右两个焦点为
、
，离心率为
，抛物线
与椭圆
有公共焦点
。
(Ⅰ)求椭圆和抛物线的标准方程；
(Ⅱ)设直线
经过椭圆的左焦点，与抛物线交于不同两点
、
，且满足=
，求实数的取值范围。
得分
评卷人
(22)(本小题满分14分)
已知数列中，
当
且
有：
。
(Ⅰ)设数列
满足
，证明散列
为等比数列，并求数列的通项公式；
(Ⅱ)记
，规定
，求数列
的前
项和
。
和平区2008-2009学年度第二学期高三年级
一、选择题(每小题5分，共50分)
1．C 2．B 3．D 4．A 5．C 6．B 7．A 8．C 9．B 10．D
二、填空题(每小题4分，共24分)
11．84 12．(3，
) 13．
14．±2 15．1:2 16．4
三、解答题(本大题共6小题，共76分)
17．(本题12分)
解：(Ⅰ)∵
，
∴
………………………(2分)
∴
………………………(3分)
∴
……………………(4分)
∵在
中，
∴
………………………(5分)
(Ⅱ)设
分别是中
的对边，
∵?
∴
∴
① ……………………(6分)
由正弦定理：
，得 
……………………(7分)
∴
∴
② ……………………(8分)
由①②解得
……………………(9分)
由余弦定理，得
………………(10分)
………………(11分)
∴
，即边
的长为
。
……………………(12分)
18．(本题12分)
解：(Ⅰ)记“甲投篮1次投进”为事件
，“乙投篮1次投进”为事件
， “丙投篮1次投进”为事件
，“3人都没有投进”为事件
，
则
，
，
∴
………………………(2分)
…………………………(4分)
∴3人都没有投进的概率为
…………………………(5分)
(Ⅱ)
的可能取值为
，故：
， …………………(6分)
， …………………(7分)
， ………………………(8分)
， …………………(9分)
∴的分布列为：
0
1
2
3
∴的数学期望：
，
……………(12分)
19．(本题12分)
解：以为坐标原点，射线
分别为
轴，
轴，
轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系． ………………………(1分)
设
，由已知得：
， ……………(2分)
(Ⅰ)当
时，
，
，
∴
, =
, 
，
……………(3分)
?=
，?=，
……………………(4分)
∴
。
…………………………………(5分)
又
，
∴
平面
∴平面
平面。 …………………………………(6分)
(Ⅱ)∵
，
∴
，
∴
，
，
设
，
平面
，
∴
?=,
?=
设
则
…(8分)
设
，
平面
，
?=,
?=，
设
则
,
……(9分)
∴
，
∵二面角
小于
， …………………………(11分)
∴二面角余弦值为
，
∴二面角B-PD-C大小为
。 …………………………(12分)
20．(本题12分)
解：(Ⅰ) ∵
∴
………………………………(2分)
∵
在区间
上为减函数
∴
≤O在区间上恒成立 …………………………(3分)
∵是开口向上的抛物线
≤
≤
∴只需 即 …………………………(5分)
≤ 
≤
∴
≤
≤
………………………………………(6分)
(Ⅱ)当
时，
∴存在
，使得
∴在区间内有且只有一个极小值点 ……………(8分)
当
时
∴存在，使得
∴在区间内有且只有一个极大值点 ……………(10分)
当≤≤时，由(Ⅰ)可知在区间上为减函数
∴在区间内没有极值点．
综上可知，当时，
在区间内的极值点个数为
当≤≤时，在区间内的极值点个数为
………(12分)
21．(本题14分)
解：(Ⅰ)∵椭圆
中，
， ……………………………(1分)
∴
, ……………………………(2分)
∴椭圆的标准方程为
。 ……………………………(3分)
∵在抛物线
中，
， ……………………………(4分)
∴抛物线的标准方程为：
。 ………………………(5分)
