江苏省如皋海安八校2009届高三第一学期期中联合考试
数学试卷
（时间：120分钟 满分：160分）
一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分. 不需写出解答过程．请把答案直接填写在答题卡相应位置上.http://www.mathedu.cn络中国数学教育网
1．集合
，
，若
是
的充要条件，则
等于 ▲ ．
2．命题“每一个素数都是奇数”的否定是 ▲ ．
3．如图，给出幂函数
在第一象限内的图象，
取
四个值，则相应于曲线
的依次为 ▲ ．
4．设奇函数
满足：对
有
，则
▲ ．
5．执行右边的程序框图,若
,则输出的
▲ .
6．设函数
，则的单调递
增区间为 ▲ ．
7．已知函数
，若
，则
实数
的取值范围是 ▲ ．
8．已知向量
，其中
、
均为非零向量，则
的取值范围是 ▲ ．
9．右图是由一些相同的小正方体构成的几何体的
三视图，这些相同的小正方体共有 ▲ 个．
10．若方程
的实根在区间
内，
且
，
则
▲ ．
11．已知复数
，
，若
是实
数，则实数 
▲ ．
12．平面向量
，
共线的充要条件是 ▲ ．
①
，方向相同 ② ，两向量中至少有一个为零向量
③ 
，
④ 存在不全为零的实数
，
，
13．定义运算
为:
例如，
,则函数f(x)=
的值域
为 ▲ ．
14．若两个函数的图象经过若干次平依后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数．给出下列四个函数：①
②
， ③
，
④
其中“同形”函数有 ▲ ．
二．解答题:本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分14分)
在锐角
中，角
、
、
的对边分别为
、
、
，且满足
．
（1）求角的大小；
（2）设
，试
求的取值范围．
16．(本小题满分14分)
如图，四边形ABCD是正方形，PB^平面ABCD，
MA^平面ABCD，PB＝AB＝2MA．
求证：（1）平面AMD∥平面BPC；
（2）平面PMD^平面PBD．
17．(本小题满分15分)
已知函数
．
（1）求函数
在
内的单调递增区间；
（2）若函数在
处取到最大值，求
的值；
（3）若
，求证：方程
在
内没有实数解．
（参考数据：
）
18．(本小题满分15分)
据调查,某地区100万从事传统农业的农民,人均收入3000元,为了增加农民的收入，当地政府积极引进资金，建立各种加工企业，对当地的农产品进行深加工，同时吸收当地部分农民进入加工企业工作，据估计，如果有
万人进企业工作，那么剩下从事传统农业的农民的人均收入有望提高
％，而进入企业工作的农民的人均收入为3000元(＞0)．
（1）在建立加工企业后，要使从事传统农业的农民的年总收入不低于加工企业建立前的农民的年总收入，试求
的取值范围；
（2）在（1）的条件下，当地政府应该如何引导农民（即多大时），能使这100万农民的人均年收入达到最大．
19．(本小题满分16分)
已知定义域为[0，1]的函数同时满足以下三个条件：
①
对任意
，总有 
；
②
；
③
若
，则有
成立.
(1) 求
的值；
(2) 函数
在区间[0,1]上是否同时适合①②③？并予以证明；
(3) 假定存在
,使得
,且
, 求证:
．
20．(本小题满分16分)
已知函数
是奇函数.
(1) 求实数的值；
(2) 判断函数在
上的单调性，并给出证明；
(3) 当
时，函数的值域是，求实数与
的值；
(4) 设函数
，
时，存在最大实数
，使得
时
恒成立，请写出与的关系式．
1．2 2．有的素数不是奇数 3．
4．0 5．
6．
7．
8．[0，2] 9．
10．－3 11．-1
12．④ 13．
14．①③
15．解：（1）因为
，所以
，
即 
而 
，所以
．故 
（2）因为 
所以 
．
由
得 
所以 
从而
故
的取值范围是
．
16．（1）证明：因为PB^平面ABCD，MA^平面ABCD，
所以PB∥MA．
因PBÌ平面BPC，MA (/平面BPC，
所以MA∥平面BPC．同理DA∥平面BPC，
因为MAÌ平面AMD，ADÌ平面AMD，
MA∩AD＝A，所以平面AMD∥平面BPC．
（2）连接AC，设AC∩BD＝E，取PD中点F，
连接EF，MF．
因ABCD为正方形，所以E为BD中点．
因为F为PD中点，所以EF∥=PB．
因为AM∥=PB，所以AM∥=EF．所以AEFM为平行四边形．所以MF∥AE．
因为PB^平面ABCD，AEÌ平面ABCD，所以PB^AE．所以MF^PB．
因为ABCD为正方形，所以AC^BD．
所以MF^BD．所以MF^平面PBD．又MFÌ平面PMD．
所以平面PMD^平面PBD．
17．解：（1）
令
则
由于
，则
在
内的单调递增区间为
和
（2）依题意，
由周期性 
（3）函数
为单调增函数，且当
时，
，
此时有
当
时，由于
，而
，则有
，
即
，即
而函数的最大值为
，且为单调增函数，
则当
时，恒有，
综上，在
内恒有，所以方程
在内没有实数解．
18．解：（1）由题意得:（100-x）? 3000 ?(1+2x%) ≥100×3000，
即x2－50x≤0，解得0≤x≤50， 又∵x＞0 ∴0＜x≤50；
（2）设这100万农民的人均年收入为y元，
则y= =
即y=－[x－25(a+1)]2+3000+475(a+1)2 (0<x≤50)
（i）当0<25(a+1)≤50，即0＜a≤1，当x=25(a+1)时，y最大；
（ii）当25(a+1)＞50，即a ＞1，函数y在（0,50]单调递增，∴当x=50时，y取最大值．
答：在0＜a≤1时，安排25(a+1)万人进入企业工作，在a＞1时安排50万人进入企业
工作，才能使这100万人的人均年收入最大．
19．（1）解：由①知：
；由③知：
，即
； ∴
(2 ) 证明：由题设知：
；
由
知
，得
，有
；
设
，则
，
；
∴
即
∴函数
在区间[0,1]上同时适合①②③.
(3) 证明：若
,则由题设知:
,且由①知
,
∴由题设及③知：
,矛盾；
若
,则则由题设知：
, 且由①知
,
∴同理得：
,
矛盾；故由上述知: 
．
20．解： (1) 由题设知：
对定义域中的
均成立.
∴
.
即
∴
对定义域中的均成立.
∴
即
（舍去）或
. ∴ .
(2) 由(1)及题设知：
，
设
，
∴当
时，
∴
.
当
时，
，即
.
∴当时，
在
上是减函数.
同理当
时，在上是增函数.
(3) 由题设知：函数的定义域为
，
∴①当
时，有. 由(1)及(2)题设知：在
为增函数，由其值域为知
（无解）；
②当
时，有
.由(1)及(2)题设知：在为减函数, 由其值域为知
得
，
.
(4) 由(1)及题设知：
，
则函数
的对称轴
，
∴
.
∴函数在
上单调减.
∴
是最大实数使得恒有
成立，
∴
,即