湖北省天门六校2009届高三第四次联考数学理科本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.满分150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷一.选择题:本大题共10个小题.每小题5分.共50分.在每小题给出的四个选项中.只——青夏教育精英家教网——

湖北省天门六校2009届高三第四次联考

数学理科

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题共50分）

一.选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1.f(x) =cos⁴x+sin⁴x的最小正周期是（）

A . B. C. D.

2.已知，且a+b=1，则下列不等式中，正确的是（）

A． B．

C． D．

3．设、是非零向量，的图象是一条直线，则必有（）

A． B． C． D．

4.从一块短轴长为2b的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取值范围是[3b²，4b²]，则这一椭圆离心率e的取值范围是（）

A．　　　　　　　　　　　　　B．

C．　　　　　　　　　　　　　D．

5.已知{}是等差数列,,,则过点，

20070324

A．4 B． C．－4 D．－

6.已知AB是椭圆=1的长轴，若把线段AB五等份，过每个分点作AB的垂线，分别与椭圆的上半部分相交于C、D、E、G四点，设F是椭圆的左焦点，则的值是（）

A．15 B．16 C．18 D．20

7.设是函数的反函数，则成立的的取值范围是

A． B．

C．　D．

8.在坐标平面内,与点A（1，2）的距离为1，且与点B（5，5）的距离为d的直线共有4条，则d的取值范围是

A．0＜d＜4 　　　　　　　　　　 B.d≥4 　　

C.4＜d＜6 　　　　　　　　　　　 D.以上结果都不对

9.已知，满足且目标函数的最大值为7，最小值为１，则

　（　　）Ａ．-２；　　　　　Ｂ．２；　　　Ｃ．１；　　　Ｄ．-１；

10．给出定义：若（其中m为整数），则m 叫做离实数x最近的整数，记作= m. 在此基础上给出下列关于函数的四个命题：

①函数y=的定义域为R，值域为；

②函数y=的图像关于直线（）对称；

③函数y=是周期函数，最小正周期为1；

④函数y=在上是增函数。

其中正确的命题的序号是( ）

A. ① 　　　　 B.　②③ 　　　 C ①②③ 　　　　 D ①④

第Ⅱ卷（非选择题共100分）

二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填在答题卡相应位置上。

11．已知是抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形平面区域内（含边界）的任意一点，则的最大值为

12．奇函数的反函数是，若，则的值是

13．在算式“9×△+1×□=48”中的△，□中，分别填入两个正整数，使它们的倒数和最小，则这两个数构成的数对为（△，□）应为。

14.对任意两个集合M、N，定义：，，设，，则 ________________。

15已知函数f (x)=－log₂x正实数a、b、c成公差为正数的等差数列，且满足

f (a) f (b)f (c)<0,若实数d是方程f (x)=0的一个解，那么下列四个判断：

① d<a; ②d>b; ③d<c; ④d>c中有可能成立的为（填序号）

三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.(本小题12分)已知中，，，，

记，（1）求关于的表达式；（2）求的值域；

17．(本小题满分12分)已知数列的首项为，前项和为，且点在直线上，为常数，。
（1）求数列的通项公式；
（2）当，且是S中的一个最大项，试求的取值范围。

18.(本小题12分)已知, ，，.

（1）当时，求使不等式成立的x的取值范围；

（2）求使不等式成立的x的取值范围.

19.(本小题12分)为贯彻落实党的十七大精神,加快新农村建设步伐,某镇政府投资c万元生产甲乙两种商品,据测算,投资甲商品x万元,可获得利润P=x万元,投资乙商品x万元可获得利润Q=40万元，如果镇政府聘请你当投资顾问，试问对甲乙两种商品的资金投入分别是多少万元？才能获得最大利润,获得最大利润是多少万元？

20.(本小题13分) 椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，离心率e = ，椭圆上的点到焦点的最短距离为1-e, 直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A、B，且．

（1）求椭圆方程；（2）若，求m的取值范围．

21.(本小题14分)设M是由满足下列条件的函数构成的集合：“①方程有实数根；②函数的导数满足”

(1)判断函数是否是集合M中的元素，并说明理由；

(2)若集合M中的元素具有下面的性质：“若的定义域为D，则对于任意，都存在，使得等式成立”

试用这一性质证明：方程只有一个实数根；

(3)设是方程的实数根，求证：对于定义域中的任意的，当且时，

一．BCAAC DAAAC

二．11．5　 12.０　１３.（４，１２）１４.［－３，０）∪（３，＋∞）　１５①②③

三.１６解：（1）由正弦定理有：；。。。。。（２分）

　　　　∴，；。。。。。。。。。。。。。（４分）

∴

　　_{。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（７分）}

（2）由；。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（８分）

∴；。。。。。。。。（１０分）∴_{。。。。。。。。。。。。。（１２分）}

１７。解：（Ⅰ）由题意可知数列是等差数列 ………（2分）

，

当时，

两式相减，得 ………………………（4分）

时也成立

∴的通项公式为： ………………………………（6分）

（Ⅱ）由前项和公式得

当时，_{………………………………………}_（８分）

∵最大，则有，解得 …………………………….（１２分）

１８。解：（Ⅰ）当时，，.

. ……………………………………… 2分

∵ ,

∴ 解得或.

∴ 当时，使不等式成立的x的取值范围是

.…………………………………………… 5分

（Ⅱ）∵ ,…… 8分

∴ 当m<0时,；

当m=0时, ；

当时，；

当m＝1时，；

当m>1时，. .............................................12

１9。解：设对甲厂投入x万元（0≤x≤c）,则对乙厂投入为c―x万元．所得利润为

y=x+40（0≤x≤c） ……………………（3分）

令=t（0≤t≤）,则x=c－t²

∴y=f（t）=－t²+40t+c=－（t―20）²+c+400……………………（6分）

当≥20,即c≥400时,则t=20, 即x=c―400时, y_max =c+400… （8分）

当0<<20, 即0<c<400时,则t=,即x=0时,y_max=40 ．…（10分）

答：若政府投资c不少于400万元时,应对甲投入c―400万元, 乙对投入400万元,可获得最大利润c+400万元．政府投资c小于400万元时,应对甲不投入,的把全部资金c都投入乙商品可获得最大利润40万元．…（12分）

20。解：（1）设C：＋＝1（a>b>0），设c>0，c²＝a²－b²，由条件知a-c＝，＝，

∴a＝1，b＝c＝，

故C的方程为：y²＋＝1　 ………………………………………(5分)

（2）由＝λ得－＝λ（－），（1＋λ）＝＋λ，

∴λ＋1＝4，λ＝3　 ………………………………………………(7分)

设l与椭圆C交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）

得（k²＋2）x²＋2kmx＋（m²－1）＝0

Δ＝（2km）²－4（k²＋2）（m²－1）＝4（k²－2m²＋2）>0 （*）

x₁＋x₂＝， x₁x₂＝　 ………………………………………………(9分)

∵＝3 ∴－x₁＝3x₂ ∴

消去x₂，得3（x₁＋x₂）²＋4x₁x₂＝0，∴3（）²＋4＝0

整理得4k²m²＋2m²－k²－2＝0　 ………………………………………………(11)分

m²＝时，上式不成立；m²≠时，k²＝，

因λ＝3 ∴k≠0 ∴k²＝>0，∴－1<m<－或 <m<1

容易验证k²>2m²－2成立，所以（*）成立

即所求m的取值范围为（－1，－）∪（，1） ………………………(13分)

21. 解：(Ⅰ)易知0是f(x)－x=0的根………………………（1分）

0＜≤(x)=+sinx≤＜1………..（3分）

∴f(x)∈M…………………………………………………（4分）

Ⅱ)假设存在两个实根，则，不妨设，由题知存在实数，使得成立。∵，且，∴

与已知矛盾，所以方程只有一个实数根……………………（8分）

(Ⅲ) 不妨设，∵，∴为增函数，∴，又∵∴函数为减函数，∴，………………….（10分）

∴，即，……..（12分）

∴_…._（14_分）