山东省郓城实验中学2008―2009学年第一学期高三期末考试数学试题——青夏教育精英家教网——

山东省郓城实验中学2008―2009学年第一学期高三期末考试数学试题

一、选择题（每题5分，共60分）

1．若，则是方程表示双曲线的条件（）

A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既充分也不必要

2．给出下面的三个命题：①函数的最小正周期是②函数

在区间上单调递增③是函数的图象的一条对称轴。其中正确的命题个数（）

A．0 B．1 C．2 D．3

3．在等差数列中，若，则该数列的前2008项的和是

（）

A．18072 B．3012 C．9036 D．12048

4．已知满足约束条件，则的最小值是（）

A．5 B．－6 C．10 D．－10

5．设A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且，若直线PA的方程为

，则直线PB 的方程是（）

A． B．

C． D．

6．已知对称轴为坐标轴的双曲线的两条渐近线方程为，若双曲线上有一点，使，则双曲线焦点（）

A．在x轴上 B．在y轴上

C．当时，在x轴上 D．当时，在y轴上

7．（理）在的展开式中，x的幂指数是整数的项共有（）

A．3项 B．4项 C．5项 D．6项

(文)已知对，直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围是（）

A．　 B．　 C． D．

8．定义一种运算，令，且，则函数的最大值是（）

A． B．1 C． D．

9．已知、是抛物线(＞0)上异于原点的两点，则“?=0”是“直线恒过定点()”的（）

A．充分非必要条件 B．充要条件

C．必要非充分条件 D．非充分非必要条件

10．正方体中，、、分别是、、的中点．那么，正

2,4,6

A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形

11．（理）用4种不同的颜色为正方体的六个面着色，要求相邻两个面颜色不相同，则不同的着色方法有种。（）

A．24 B．48 C．72 D．96

(文) 已知，则在数列{a_n}的前50项中最小项和最大项分别是（）

A．， B．， C．， D．，

12．若函数在区间内单调递增，则a的取值范围是（）

A． B． C． D．

二、填空题（每题4分，共16分）

13．= 。

14．在120⁰的二面角-l-β内有一点P，P在平面、β内的射影A、B分别落在半平面、β内，且PA=3，PB=4，则P到l的距离为

15．已知F₁、F₂是椭圆=1(5＜a＜10＝的两个焦点，B是短轴的一个端点，则△F₁BF₂的面积的最大值是

16．设函数，给出下列4个命题：

①时，只有一个实数根； ②时，是奇函数；

③的图象关于点对称； ④方程至多有2个实数根

上述命题中的所有正确命题的序号是 .

三、解答题（17―21题每小题12分，22题14分，共74分）

17．已知中，角A，B，C，所对的边分别是，且；

（1）求

（2）若，求面积的最大值。

18．已知等比数列中，分别是某等差数列的第5项，第3项，第2项，且，公比；

（1）求

（2）设，求数列的前n项和。

19．（理做Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ；文做Ⅰ、Ⅳ）

如图，直二面角D―AB―E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F

（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCE；

（Ⅱ）求二面角B―AC―E的余弦值；

（Ⅲ）求点D到平面ACE的距离.

（Ⅳ）求证：平面BDF⊥平面ABCD

20．（本小题满分12分）造船厂年造船量20艘，造船艘产值函数为

（单位：万元），成本函数（单位：万元），又在经济学中，函数的边际函数定义为

（1）求利润函数及边际利润函数（利润=产值―成本）

（2）问年造船量安排多少艘时，公司造船利润最大

（3）边际利润函数的单调递减区间

21．（本小题满分12分）已知函数且

（1）若在取得极小值－2，求函数的单调区间

（2）令若的解集为A，且，求的范围

22．（本题满分14分）

在直角坐标系中，已知一个圆心在坐标原点，半径为2的圆，从这个圆上任意一点P向y轴作垂线段PP′，P′为垂足.

（1）求线段PP′中点M的轨迹C的方程；

（2）过点Q(－2,0)作直线l与曲线C交于A、B两点，设N是过点，且以为方向向量的直线上一动点，满足（O为坐标原点），问是否存在这样的直线l，使得四边形OANB为矩形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.

一、选择题（每题5分，共60分）

1―5 ACCBA 6―10 BCABD 11―12 DB

2,4,6

13． 14． 15． 16．①②③

三、解答题（17―21题每小题12分，22题14分，共74分）

17．解：（Ⅰ）

（Ⅱ）

又

当且仅当时，△ABC面积取最大值，最大值为.

18．解：（Ⅰ）依题意得

（Ⅱ）

又

19．解法一：（Ⅰ）平面ACE.

∵二面角D―AB―E为直二面角，且，平面ABE.

（Ⅱ）连结BD交AC于C，连结FG，

∵正方形ABCD边长为2，∴BG⊥AC，BG=，

平面ACE，

（Ⅲ）过点E作交AB于点O. OE=1.

∵二面角D―AB―E为直二面角，∴EO⊥平面ABCD.

设D到平面ACE的距离为h，

平面BCE，

解法二：（Ⅰ）同解法一.

（Ⅱ）以线段AB的中点为原点O，OE所在直

线为x轴，AB所在直线为y轴，过O点平行

于AD的直线为z轴，建立空间直角坐标系

O―xyz，如图.

面BCE，BE面BCE，，

在的中点，

设平面AEC的一个法向量为，

则解得

令得是平面AEC的一个法向量.

又平面BAC的一个法向量为，

∴二面角B―AC―E的大小为

（III）∵AD//z轴，AD=2，∴，

∴点D到平面ACE的距离

20．解：（1）

；

（2）

，,

，有最大值；即每年建造12艘船，年利润最大（8分）

（3），（11分）

所以，当时，单调递减，所以单调区间是，且

21．解：(I)∵，且，

∴①④

又由在处取得极小值－2可知②且③

将①②③式联立得∴。 (4分)

由得同理由得

∴的单调递减区间是[-1,1], 单调递增区间是(-∞,1和 (6分)

(II)由上问知：,∴。

又∵。∴。∴。∴

∵，∴>0。∴。(8分)

∴当时，的解集是，

显然A不成立，不满足题意。

∴，且的解集是。 (10分)

又由A知。解得。(12分)

22．解：（1）设M(x，y)是所求曲线上的任意一点，P（x₁，y₁）是方程x² +y²=4的圆上的任意一点，则

则有：得，

轨迹C的方程为

（1）当直线l的斜率不存在时，与椭圆无交点.

所以设直线l的方程为y = k(x+2)，与椭圆交于A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)两点，N点所在直线方程为

由

由△=

即 …

即，∴四边形OANB为平行四边形

假设存在矩形OANB，则，即，

即，

于是有得 … 设，

即点N在直线上.

∴存在直线l使四边形OANB为矩形，直线l的方程为