北京市西城区2009年3月高三抽样测试数学理科 2009.3 本试卷分第I卷和第II卷.满分150分.考试时间120分钟.第I卷——青夏教育精英家教网——

北京市西城区2009年3月高三抽样测试

数学理科 2009.3

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）。满分150分，考试时间120分钟。

第I卷（选择题，共40分）

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

2．若的（）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．已知函数的反函数. 若的图象过点（3，4），则a等于（） A． B． C． D．2

4．在正三棱锥P―ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，有下列三个论断：

①； ②AC//平面PDE； ③.

其中正确论断的个数为（）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

5．若的值为（）

A．9 B．8 C．7 D．6

6．已知a，b是不共线的向量，R）那么A，B，C三点共线的充要条件为（）

A． B． C．=－1 D．=1

7．设双曲线的半焦距为c，离心率为.若直线与双曲线的一个交点的横坐标恰为c，则k等于（）

A． B． C． D．

8．如图，正五边形ABCDE中，若把顶点A、B、C、D、E染上

红、黄、绿、三种颜色中的一种，使得相邻顶点所染颜色不

相同，则不同的染色方法共有（）

A．30种 B．27种 C．24种 D．21种

第Ⅱ卷（非选择题，共110分）

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在题中横线上.）

9．设甲、乙、丙三个加工厂共生产玩具6000件，其中甲厂生产了1440件. 现采用分层抽样的方法从三个加工厂抽取一个容量为500件的样本进行质量检测，则应从甲加工厂抽取

件玩具.

2,4,6

11．= .

12．设R，函数的最小值是－2，则实数k= .

13．已知正四棱柱ABCD―A₁B₁C₁D₁的底面ABCD边长为1，高AA₁=，它的八个顶点都在同一球面上，那么球的半径是；A，B两点的球面距离为 .

14．按下列程序框图运算：

规定：程序运行到“判断结果是否大于244”为1次运算.

若x=5，则运算进行次才停止；若运算进行k N^*）次才停止，则x的取值范围是 .

三、解答题（本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

15．（本小题满分12分）

已知为第二象限的角，为第三象限的角，.

（I）求的值.

（II）求的值.

2,4,6

设甲、乙两套试验方案在一次试验中成功的概率均为p，且这两套试验方案中至少有一套试验成功的概率为0.51. 假设这两套试验方案在试验过程中，相互之间没有影响.

（I）求p的值；

（II）设试验成功的方案的个数为，求的分布列及数学期望E.

17．（本小题满分14分）

如图，正三棱柱ABC―A₁B₁C₁中，D是BC的中点，AA₁=AB=1.

（I）求证：A₁C//平面AB₁D；

（II）求二面角B―AB₁―D的大小；

（III）求点c到平面AB₁D的距离.

18．（本小题满分14分）

设直线与椭圆相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点C，记O为坐标原点.

（I）证明：；

（II）若的面积取得最大值时的椭圆方程.

2,4,6

19．（本小题满分14分）

设a>0，函数.

（I）若在区间上是增函数，求a的取值范围；

（II）求在区间上的最大值.

20．（本小题满分14分）

设是首项为1，公比为2的等比数列. 对于满足的整数k,

数列确定. 记.

（I）当k=1时，求M的值；

（II）求M的最小值及相应的k的值.

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

2,4,6

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9．120 10．5 11． 12． 13．1（2分），（3分）

14．4（2分），（3分）

三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15．（本小题满分12分）

（I）解：因为α为第二象限的角，，

所以，，………………………………………2分

……………………………………………………… 4分

又，

所以， …………………………… 6分

（II）解：因为β为第三象限的角，，

所以， …………………………………………8分

又，………10分

所以， ………………12分

16．（本小题满分12分）

（I）解：记这两套试验方案在一次试验中均不成功的事件为A，则至少有一套试验成功的事件为

由题意，这两套试验方案在一次试验中不成功的概率均为1－p.

所以，，

从而，

令 ………………………………………6分

（II）解：ξ的可取值为0，1，2. ……………………………………………7分

……………………………………………………10分

所以ξ的分布列为

ξ

0

1

2

P

0.49

0.42

0.09

ξ的数学期望……12分

解法一（I）证明：

连接A₁B，设A₁B∩AB₁= E，连接DE.

∵ABC―A₁B₁C₁是正三棱柱，且AA₁ = AB，

∴四边形A₁ABB₁是正方形，

∴E是A₁B的中点，

又D是BC的中点，

∴DE∥A₁C. ………………………… 3分

∵DE平面AB₁D，A₁C平面AB₁D，

∴A₁C∥平面AB₁D. ……………………4分

（II）解：在面ABC内作DF⊥AB于点F，在面A₁ABB₁内作FG⊥AB₁于点G，连接DG.

∵平面A₁ABB₁⊥平面ABC， ∴DF⊥平面A₁ABB₁，

∴FG是DG在平面A₁ABB₁上的射影， ∵FG⊥AB₁， ∴DG⊥AB₁

∴∠FGD是二面角B―AB₁―D的平面角 …………………………7分

设A₁A = AB = 1，在正△ABC中，DF=

在△ABE中，，

在Rt△DFG中，，

所以，二面角B―AB₁―D的大小为 …………………………9分

（III）解：∵平面B₁BCC₁⊥平面ABC，且AD⊥BC，

∴AD⊥平面B₁BCC₁，又AD平面AB₁D，∴平面B₁BCC₁⊥平面AB₁D.

在平面B₁BCC₁内作CH⊥B₁D交B₁D的延长线于点H，

则CH的长度就是点C到平面AB₁D的距离. ……………………………12分

由△CDH∽△B₁DB，得

即点C到平面AB₁D的距离是 ……………………………………14分

建立空间直角坐标系D―xyz，如图，

（I）证明：

连接A₁B，设A₁B∩AB₁ = E，连接DE.

设A₁A = AB = 1，

则

…………………………3分

，

……………………………………4分

（II）解：，，

设是平面AB₁D的法向量，则，

故；

同理，可求得平面AB₁B的法向量是 ……………………7分

设二面角B―AB₁―D的大小为θ，，

∴二面角B―AB₁―D的大小为 …………………………9分

（III）解由（II）得平面AB₁D的法向量为，

取其单位法向量

∴点C到平面AB₁D的距离 ……………………14分

18．（本小题满分14分）

（I）解：依题意，直线l显然不平行于坐标轴，故

将，得

① ………………………… 3分

由直线l与椭圆相交于两个不同的点，得

，

即 …………………………………………………… 5分

（II）解：设由①，得

因为，代入上式，得 ……………8分

于是，△OAB的面积

………………11分

其中，上式取等号的条件是 ……………………12分

由

将这两组值分别代入①，均可解出

所以，△OAB的面积取得最大值的椭圆方程是 ………………14分

19．（本小题满分14分）

（I）解：对函数 ……………………… 2分

要使上是增函数，只要上恒成立，

即上恒成立 ……………………………………4分

因为上单调递减，所以上的最小值是，

注意到a > 0，所以a的取值范围是 ……………………………………6分

（II）解：①当时，由（I）知，上是增函数，

此时上的最大值是 ……………………8分

②当，

解得 ……………………………………………………10分

因为，

所以上单调递减，

此时上的最大值是………… 13分

综上，当时，上的最大值是；

当时，上的最大值是 ……………14分

20．（本小题满分14分）

（I）解：显然 ……………………………………1分

当 ……………………………………3分

所以，

…………………………6分

（II）解：

………………………………………………9分

………………12分

当

所以，M的最小值为 ………………………………14分