Question

如图所示，在MN左侧有相距为d的两块正对的平行金属板P、Q，板长L=

3

d/3，两板带等量异种电荷，上极板带负电．在MN右侧存在垂直于纸面的矩形匀强磁场（图中未画出），其左边界和下边界分别与MN、AA’重合（边界上有磁场）．现有一带电粒子以初速度v₀沿两板中央OO′射入，并恰好从下极板边缘射出，又经过在矩形有界磁场中的偏转，最终垂直于MN从A点向左水平射出． 已知A点与下极板右端的距离为d．不计带电粒子重力．求：
（1）粒子从下极板边缘射出时的速度；
（2）粒子从O运动到A经历的时间；
（3）矩形有界磁场的最小面积．

Answer 1

分析：（1）带电粒子做平抛运动，由运动的分解可得平行极板方向做匀速运动，垂直此方向做匀加速运动，根据运动学公式即可求解；
（2）粒子做平抛运动后进入磁场做匀速圆周运动，根据几何关系可得已知长度与运动轨迹的半径的表达式．再由轨迹对应的圆心角，从而求出所需要的时间；
（3）从几何角度得出磁场的最小区域，再由面积公式即可求解．

解答：解：（1）带电粒子在电场中平行极板方向匀速运动：

3

3

d=v0t
竖直方向从静止开始做匀加速运动：

1

2

d=

1

2

vyt，
解得vy=

3

v0
则粒子从下极板边缘射出时的速度为v=

v 2 0 + v 2 y

=2v0，
且与竖直方向成30⁰角．
（2）带电粒子在电场中运动的时间t1=

3

3v0

d，由几何关系可得r=

d

3

，
离开电场后先做匀速运动，匀速运动的时间t2=

3

2v0

r=

3

6v0

d
然后进入磁场，在磁场中偏转120⁰到达A，
t3=

T

3

=

2πr

6v0

=

πd

9v0

所以带电粒子从O运动至A所用的总时间为
t=t₁+t₂+t₃=(

3

2

+

π

9

)

d

v0

（3）由轨迹示意图可知，磁场区域宽等于轨迹半径r，高等于

3r

2

，而r=

d

3

，
所以矩形有界磁场的最小面积为S=r×

3r

2

=

d2

6

答：（1）粒子从下极板边缘射出时的速度为2v₀，方向与竖直方向成30⁰角；
（2）粒子从O运动到A经历的时间时间=(

3

2

+

π

9

)

d

v0

；
（3）矩形有界磁场的最小面积为

d2

6

．

点评：理解平抛运动处理的运动分解规律，掌握匀速圆周运动的：定圆心、画轨迹、求半径的方法．同时运用几何知识来结合求解．