题目内容
16．
在水平桌面上平整铺放一层光滑绝缘层，并固定好，在绝缘层上建立直角坐标系，在y轴上的A点和x轴上的B点间固定一个半径为0.4m的内、外壁均光滑的绝缘细管，其圆心在y轴上的O′点，其坐标为（0、0.2m），且∠BO′O=60°，如图所示．现在第一象限和第四象限不同区域内加上竖直方向的四个匀强磁场，其分界面为图中a、b、c所示，磁感应强度分别为B0、B1、B2、B0，将一直径略小于绝缘管内径的带电荷量为1.0×10-4C、质量为1.2×10-5kg的带正电小球，在A端以大小2.0m/s的速度垂直y轴射入细管中，此后小球从B端射出，并垂直通过界面c、a，又重新垂直y轴回到A端进入细管做周期性运动，已知重力加速度g=10m/s2．求：（1）小球在细管中运动时，细管对小球的作用力大小．
（2）B0、B1、B2的大小和方向．
（3）在运动的一个周期内，小球在经过第一、四象限的过程中，在区域Ⅱ、Ⅲ内运动的总时间与在区域Ⅰ、Ⅳ内运动的总时间之比．
分析 （1）小球在细管中做匀速圆周运动，由管壁对小球水平方向的支持力提供向心力，竖直方向上管壁对小球竖直方向的支持力平衡，求出水平和竖直两个方向支持力的分力，即可由力的合成求解．
（2）小球在区域Ⅰ做半径为R的匀速圆周运动，由洛伦兹力充当向心力，列式求解B0的大小，由左手定则判断B0的方向．要使小球不停地做周期性运动，则区域Ⅱ、Ⅲ内小球运动的半径应相等，区域Ⅱ、Ⅲ的磁感应强度应等大反向，B2的方向为垂直水平面向下，B1的方向为垂直水平面向上．画出小球做周期性运动的径迹，由几何知识求出小球在区域Ⅲ、Ⅱ内运动半径，即可求得B1、B2的大小．
（3）根据v=$\frac{s}{t}$，s是弧长，分段求出小球圆周运动的时间，即可求解．
解答 
解：（1）小球在细管中做匀速圆周运动，向心力 F1=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
管壁对小球竖直方向的支持力 F2=mg
则小球在细管中运动时，细管对小球的作用力大小 F=$\sqrt{{F}_{1}^{2}+{F}_{2}^{2}}$≈1.697×10-4N．
（2）小球在区域Ⅰ做半径为R的匀速圆周运动，有 qvB0=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得 B0=$\frac{mv}{qR}$=0.6T
由左手定则知B0方向垂直于水平面向下．
要使小球不停地做周期性运动，则区域Ⅱ、Ⅲ内小球运动的半径应相等，区域Ⅱ、Ⅲ的磁感应强度应等大反向，B2的方向为垂直水平面向下，B1的方向为垂直水平面向上．小球做周期性运动的径迹如图甲所示．设在区域Ⅲ、Ⅱ内小球的圆心为O1、O2．小球圆周运动半径为r，偏转角为φ，如图乙所示．
由几何知识知：2rsinφ=O′D
R+r-DG=2rcosφ-r
DG=R+Rcos30°
又 r=$\frac{m{v}_{1}}{q{B}_{1}}$
解得 r=$\frac{\sqrt{3}}{5}$m，B1=0.4$\sqrt{3}$T≈0.693T
则有 B2=B1=0.693T
（3）由v=$\frac{s}{t}$知，小球在区域Ⅳ内做匀速圆周运动的时间 t1=$\frac{5πR}{6v}$
小球在区域Ⅱ、Ⅲ做匀速圆周运动的时间共为 t2=$\frac{2πr}{3v}$
小球在第一象限区域Ⅰ做匀速圆周运动的时间 t3=$\frac{πR}{2v}$
设在运动的一个周期内，小球在经过第一、四象限的过程中，在区域Ⅱ、Ⅲ内运动的总时间与在区域Ⅰ、Ⅳ内运动的总时间之比为k，则 k=$\frac{{t}_{2}}{{t}_{1}+{t}_{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
答：
（1）小球在细管中运动时，细管对小球的作用力大小是1.697×10-4N．
（2）B0的大小为0.6T，方向垂直于水平面向下．B1的大小为0.693T，方向垂直水平面向上．B2的大小为为0.693T，方向垂直水平面向下．
（3）在运动的一个周期内，小球在经过第一、四象限的过程中，在区域Ⅱ、Ⅲ内运动的总时间与在区域Ⅰ、Ⅳ内运动的总时间之比为$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
点评 本题是带电粒子在复合场中运动的问题，确定出小球运动的向心力是基础，关键是根据周期性，画出小球的运动轨迹，利用各段运动的关系和几何知识结合解答．
如图所示，平行金属导轨固定在同一水平面内，导轨间距L=0.5m，右端接有阻值R=0.9Ω的电阻，一导体棒ab质量m=0.1kg，电阻r=0.1Ω，把它垂直放在导轨上，导体棒与金属导轨间的动摩擦因数μ=0.2，导体棒在水平恒力F的作用下以V=4m/s的速度向左匀速运动，并与两导轨始终保持垂直且良好接触，整个装置处在方向竖直向上磁感应强度B=0.4T的匀强磁场中．导轨电阻不计，求
| A． | J/A | B． | W/Ω | C． | T•m2/s | D． | T•A•m |
| A． | 磁铁B在最高点的速度可能大于$\sqrt{gr}$ | |
| B． | 磁铁B在最高点的速度可能等于$\sqrt{gr}$ | |
| C． | 若增大B的初速度，则B在最高点时最容易脱落 | |
| D． | 若增大B的初速度，则B在最低点时最容易脱落 |
如图所示，两足够长的平行光滑的金属导轨MN、PQ相距L=0.2m，导轨平面与水平面的夹角θ=30°，导轨电阻不计．磁感应强度B1=2.0T的匀强磁场垂直于导轨平面向上，长度L=0.2m的金属棒ab垂直于MN、PQ放置在导轨上，且始终与导轨接触良好，金属棒的质量M=0.2kg、电阻r=0.1Ω．两金属导轨的上端连接右侧电路，电路中通过导线接一对水平放置的平行金属板，两板间的距离为d=0.2m，板长为D=0.4m，定值电阻的阻值R=0.3Ω．现闭合开关S，并将金属棒由静止释放，取g=10m/s2．