Question

2．为了研究过山车的原理，物理小组提出了下列的设想：取一个与水平方向夹角为37°、长为L=2.0m的粗糙的倾斜轨道AB，通过水平轨道BC与竖直圆轨道相连，出口为水平轨道DE，整个轨道除AB段以外都是光滑的．其中AB与BC轨道以微小圆弧相接，如图所示．一个小物块以初速度v₀=4.0m/s，从某一高处水平抛出，恰从A点无碰撞地沿倾斜轨道滑下．已知物块与倾斜轨道AB的动摩擦因数μ=0.5（g取10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）：
（1）求小物块的抛出点和A点的高度差；
（2）若竖直圆轨道半径为1米，小物块质量为2kg，求小物块运动到c点时对轨道的压力；
（3）为了让小物块不离开轨道，则竖直圆轨道的半径应该满足什么条件．

Answer 1

分析 （1）从抛出点到A点做平抛运动，根据平抛运动的规律可解得落到A点时竖直方向的速度v_y与h的关系，根据竖直方向速度v_y与水平方向速度v_x的夹角之间的关系，可以解得h．
（2）滑至圆轨道最低点时，小物块所受重力和支持力的合力提供小物体圆周运动的向心力；
（3）要使小物块不离开轨道并且能够滑回倾斜轨道AB，则小物体沿圆轨道上升的最大高度不能超过圆心，结合动能定律列式求解．

解答 解、（1）设从抛出点到A点的高度差为h，到A点时有则有：${v_y}=\sqrt{2gh}$，且 $\frac{v_y}{v_0}=tan{37^0}$代入数据解得：h=0.45m
（2）小物块从A到C的过程中只有重力和AB段的摩擦力做功，根据动能定理有：
${W}_{G}+{W}_{f}=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
即：$mgLsin37°-μmgLcos37°=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
物体运动到C点的速度为：
v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+2gLsin37°-2μgLcos37°}$=$\sqrt{{4}^{2}+2×10×2×0.6-2×0.5×10×2×0.8}m/s=2\sqrt{6}m/s$
又在最低点有C重力和支持力的合力提供圆周运动的向心力有：
$N-mg=m\frac{{v}^{2}}{R}$
得：轨道对小物块的支持力为：N=mg+$m\frac{{v}^{2}}{R}$=$2×10+2×\frac{24}{1}N=68N$
根据牛顿第三定律，所以物体对轨道的压力为68N 
（3）小物体到达A点时的速度：${v_A}=\sqrt{v_0^2+v_y^2}=5m/s$
从A到B，由动能定理：$mgLsin{37^0}-μmgcos{37^0}×L=\frac{1}{2}mv_B^2-\frac{1}{2}mv_A^2$
要使小物块不离开轨道并且能够滑回倾斜轨道AB，则小物体沿圆轨道上升的最大高度不能超过圆心，即：$\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}≤mgR′$
所以：R′≥1.65m
小物体到达A点时的速度：${v_A}=\sqrt{v_0^2+v_y^2}=5m/s$
从A到B，由动能定理：$mgLsin{37^0}-μmgcos{37^0}×L=\frac{1}{2}mv_B^2-\frac{1}{2}mv_A^2$
小物体从B到环最高点机械能守恒：$\frac{1}{2}mv_B^2=\frac{1}{2}mv_p^2+mg×2R$
在最高点有：$m\frac{v_p^2}{R}≥mg$
由④⑤⑥⑦解得为：R≤0.66m
答：（1）小物块的抛出点和A点的高度差是0.45m；
（2）若竖直圆轨道半径为1米，小物块质量为2kg，小物块运动到c点时对轨道的压力是68N；
（3）为了让小物块不离开轨道，则竖直圆轨道的半径应该满足 R≤0.66m．

点评 此题要求熟练掌握平抛运动、动能定理、机械能守恒定律、圆周运动等规律，包含知识点多，难度较大，属于难题．