题目内容
如图所示，水平放置的平行金属板A和B的间距为d，极板长为2d；金属板右侧用三块挡板MN、NP、PM围成一个等腰直角三角形区域，顶角NMP为直角，MN挡板上的中点处有一个小孔K恰好位于B板的右端，已知水平挡板NP的长度为. |
| NP |
| 2 |
（1）所施加的恒定电压的大小；
（2）现允许在挡板围成的三角形区域内，加一垂直纸面的匀强磁场，要使从小孔K飞入的粒子经过磁场偏转后能直接（不与其他挡板碰撞）打到挡板MP上，求所加磁场的方向和磁感应强度的范围．
（3）在第（2）问的前提下，以M为原点，沿MP方向建立x轴，求打到挡板MP上不同位置（用坐标x表示）的粒子在磁场中的运动时间．
分析：（1）、由题意可分析出带电粒子在两金属板间竖直方向的位移为d，水平方向的位移为2d，水平方向上做匀速直线运动，竖直方向上做自由落体运动，运用类平抛运动的知识可求出所施加的恒定电压．
（2）、根据题意，首先运用速度的合成求出带电粒子进入三角形区域时的速度，由偏转方向和左手定则可得知磁场的方向；再找出两个临界半径，一是带电粒子偏转轨道与NP相切时的轨道半径，二是正好达到M点时的轨道半径，从而确定轨道半径的范围，由带电粒子在磁场中受到的洛伦兹力提供向心力公式（qvB=m
），即可求出所加磁场的磁感应强度范围．
（3）、由射入磁场时的速度方向和达到MP时的速度方向确定圆心，由几何关系找出半径R与x的关系式，以及在磁场中运动的偏转角，再通过运动时间、偏转角和周期T的关系（t=
T）可求出运动时间．
（2）、根据题意，首先运用速度的合成求出带电粒子进入三角形区域时的速度，由偏转方向和左手定则可得知磁场的方向；再找出两个临界半径，一是带电粒子偏转轨道与NP相切时的轨道半径，二是正好达到M点时的轨道半径，从而确定轨道半径的范围，由带电粒子在磁场中受到的洛伦兹力提供向心力公式（qvB=m
| v2 |
| R |
（3）、由射入磁场时的速度方向和达到MP时的速度方向确定圆心，由几何关系找出半径R与x的关系式，以及在磁场中运动的偏转角，再通过运动时间、偏转角和周期T的关系（t=
| a |
| 2π |
解答：解：
（1）由于带电粒子做类平抛运动，则有：
2d=v0t…①
d=
t2…②
①②联立得：U0=
…③
（2）设粒子在进入K时，竖直方向的分速度为vy，则有：
vy=at=
?
=v0…④
tanθ=
=1
得：v=
=
v0…⑤
可知当θ=45°时，即粒子垂直MN板射入时，要使粒子直接打到MP板上，根据左手定则，可知所加磁场的方向垂直纸面向内．如图所示，当粒子进入磁场后做匀速圆周运动，偏转半径最大时恰好与NP相切；偏转半径最小时，KM为运动圆周的直径，设最大半径为RM，则由几何关系可知，△NMP与△NQO1相似，则有：
=
=
得：Rm=(
+1)a…⑥
因此，粒子做圆周运动的半径范围为：
＜R＜(
+1)a…⑦
由于粒子在磁场中做圆周运动，故洛伦兹力提供向心力，即：
qvB=m
…⑧
联立⑤⑥⑦⑧式可得所加磁场的磁感应强度范围为：
＜B＜
…⑨
（3）设粒子打到MP时，坐标为x，设偏转角为α，则由几何关系可得：
（R-a）2+x2=R2，sin α=
…⑩
对应粒子在磁场中的运动时间为：t=
T 而T=
…（11）
由⑧⑩（11）三式可得：t=
…（12）
经分析（12）式只适用于a＜
时
当a＞
时，t=
答：（1）所施加的恒定电压的大小为U0=
（2）所加磁场的方向为垂直纸面向内，磁感应强度的范围为
＜B＜
（3）、当偏转角a＜
时，时间为t=
；当a＞
时，时间为t=
（1）由于带电粒子做类平抛运动，则有：
2d=v0t…①
d=
| 1 |
| 2 |
| qU0 |
| md |
①②联立得：U0=
m
| ||
| 2q |
（2）设粒子在进入K时，竖直方向的分速度为vy，则有：
vy=at=
| qU0 |
| md |
| 2d |
| v0 |
tanθ=
| vy |
| v0 |
得：v=
|
| 2 |
可知当θ=45°时，即粒子垂直MN板射入时，要使粒子直接打到MP板上，根据左手定则，可知所加磁场的方向垂直纸面向内．如图所示，当粒子进入磁场后做匀速圆周运动，偏转半径最大时恰好与NP相切；偏转半径最小时，KM为运动圆周的直径，设最大半径为RM，则由几何关系可知，△NMP与△NQO1相似，则有：
| NO1 |
| NP |
| O1Q |
| MP |
| a+Rm | ||
2
|
| Rm |
| 2a |
得：Rm=(
| 2 |
因此，粒子做圆周运动的半径范围为：
| a |
| 2 |
| 2 |
由于粒子在磁场中做圆周运动，故洛伦兹力提供向心力，即：
qvB=m
| v2 |
| R |
联立⑤⑥⑦⑧式可得所加磁场的磁感应强度范围为：
(2-
| ||
| qa |
2
| ||
| qa |
（3）设粒子打到MP时，坐标为x，设偏转角为α，则由几何关系可得：
（R-a）2+x2=R2，sin α=
| x |
| R |
对应粒子在磁场中的运动时间为：t=
| a |
| 2π |
| 2πm |
| qB |
由⑧⑩（11）三式可得：t=
(x2+a2)arcsin
| ||
2
|
经分析（12）式只适用于a＜
| π |
| 2 |
当a＞
| π |
| 2 |
(x2+a2)(π-arcsin
| ||
2
|
答：（1）所施加的恒定电压的大小为U0=
m
| ||
| 2q |
（2）所加磁场的方向为垂直纸面向内，磁感应强度的范围为
(2-
| ||
| qa |
2
| ||
| qa |
（3）、当偏转角a＜
| π |
| 2 |
(x2+a2)arcsin
| ||
2
|
| π |
| 2 |
(x2+a2)(π-arcsin
| ||
2
|
点评：带电粒子在电场中的运动，综合了静电场和力学的知识，分析方法和力学的分析方法基本相同．先分析受力情况再分析运动状态和运动过程（平衡、加速、减速，直线或曲线），然后选用恰当的规律解题．解决这类问题的基本方法有两种，第一种利用力和运动的观点，选用牛顿第二定律和运动学公式求解；第二种利用能量转化的观点，选用动能定理和功能关系求解．
本题将有界磁场变为三角形磁场，仍然突出考查单一物体的多过程问题．带电粒子在电场、磁场中的运动，涉及到电场、磁场的基本概念和规律，与力学中的牛顿运动定律和运动学公式、动能定理、平抛运动规律、匀速圆周运动规律等联系密切，综合性大，能充分考查考生的综合分析能力和应用数学处理物理问题的能力．解此类问题的关键是做出带电粒子运动的轨迹图，抓住物理过程变化的转折点（列出对应的状态方程），找出粒子运动的半径与磁场边界的约束关系．
本题将有界磁场变为三角形磁场，仍然突出考查单一物体的多过程问题．带电粒子在电场、磁场中的运动，涉及到电场、磁场的基本概念和规律，与力学中的牛顿运动定律和运动学公式、动能定理、平抛运动规律、匀速圆周运动规律等联系密切，综合性大，能充分考查考生的综合分析能力和应用数学处理物理问题的能力．解此类问题的关键是做出带电粒子运动的轨迹图，抓住物理过程变化的转折点（列出对应的状态方程），找出粒子运动的半径与磁场边界的约束关系．
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