Question

2．轻杆AB长2L，A端连在固定轴上，B端固定一个质量为2m的小球，中点C固定一个质量为m的小球．AB杆可以绕A端在竖直平面内自由转动．现将杆置于水平位置，如图所示，然后由静止释放，不计各处摩擦力与空气阻力，则下列说法正确的是（　　）

• A． AB杆转到竖直位置时，角速度为$\sqrt{\frac{10g}{9L}}$
• B． AB杆转到竖直位置的过程中，B端小球的机械能的增量为$\frac{4}{9}$mgL
• C． AB杆转动过程中杆CB对B球做正功，对C球做负功，杆AC对C球做正功
• D． AB杆转动过程中，C球机械能守恒

Answer 1

分析 小球A、B系统中，只有重力势能和动能相互转化，机械能守恒，根据机械能守恒定律列式求解．在转动过程中，A、B两球的角速度相同，据此先求出两者的速度关系，然后再求出其角速度和动能的变化，机械能的变化．根据动能定理分析做功正负．

解答 解：A、在转动过程中，A、B两球的角速度相同，设AB杆转到竖直位置时C球的速度为v_C，B球的速度为v_B，则有 v_C=$\frac{1}{2}$v_B   
以A、B和杆组成的系统机械能守恒，由机械能守恒定律，并选最低点为零势能参考平面，则有
 E₁=mg•2L+2mg•2L=6mgL，
 E₂=mgL+$\frac{1}{2}$m${v}_{C}^{2}$+$\frac{1}{2}•2m{v}_{B}^{2}$
又 E₁=E₂
以上四式联立可以求出：v_B=$\frac{2\sqrt{10gL}}{3}$
由公式：v_B=ω•2L
解得：ω=$\sqrt{\frac{10g}{9L}}$，故A正确．
B、B端小球的机械能增量：△E=$\frac{1}{2}$•2m${v}_{B}^{2}$-2mg•2L=$\frac{4}{9}$mgL，故B正确．
C、由上分析知B球的机械能增加，根据系统的机械能守恒知C球机械能减少，由功能关系知杆CB对B球做正功．
假设让C球和AC组成一个单摆，B球和AB组成另一个单摆，让两个单摆同时从图中位置向下摆动，根据单摆的周期公式T=2π$\sqrt{\frac{L}{g}}$可知，
C摆的周期小于B摆的周期，说明图中C球运动比B球运动快，则CB对B球的拉力与C球的瞬时速度方向夹角为钝角，所以CB对C球做负功．杆AC的拉力始终与C球的速度方向垂直，则杆AC对C球不做功，故C错误．
D、由上分析知C球的机械能不守恒，故D错误．
故选：AB．

点评 本题关键是系统内部只有重力势能和动能相互转化，机械能守恒，根据守恒定律列方程求解出速度和角速度，再计算机械能的变化量．