题目内容
9．如图所示，质量m=3kg的小物块以初速度v0=4m/s水平向右抛 出，恰好从A点沿着圆弧的切线方向进入圆弧轨道．圆弧轨道的半径为R=3.75m，B点是圆弧轨道的最低点，圆弧轨道与水平轨道BD平滑连接，A与圆心O的连线与竖直方向成37°角．MN是一段粗糙的水平轨道，小物块与MN间的动摩擦因数μ=0.1，轨道其他部分光滑．最右侧是一个半径为r=0.4m的半圆弧轨道，C点是圆弧轨道的最高点，半圆弧轨道与水平轨道BD在D点平滑连接．已知重力加速度g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8．（1）求小物块经过B点时对轨道的压力大小．
（2）若MN的长度为L=6m，求小物块通过C点时对轨道的压力大小．
（3）若小物块恰好能通过C点，求MN的长度L'．
分析 （1）小物块先做平抛运动，根据A点的速度方向求出经过A点的速度．从A到B，运用机械能守恒求出经过B点的速度，在B点，由牛顿定律求压力．
（2）小物块由B点运动到C点，根据定能定理求出物块到达C点的速度．在C点，由合力提供向心力，由牛顿定律求物块对轨道的压力．
（3）小物块刚好能通过C点时，由重力提供向心力，由牛顿第二定律求出C点的速度．再由动能定理求MN的长度L'．
解答 解：（1）物块做平抛运动时，根据平抛运动的规律有：v0=vAcos37°，
解得：vA=$\frac{{v}_{0}}{cos37°}$=$\frac{4}{0.8}$=5m/s
小物块经过A点运动到B点，根据机械能守恒定律有：
$\frac{1}{2}mv_A^2+mg（R-Rcos{37°}）=\frac{1}{2}mv_B^2$
小物块经过B点时，有：${F_N}-mg=\frac{mv_B^2}{R}$
解得：FN=mg（3-2cos37°）+m$\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$=3×10×（3-2×0.8）+3×$\frac{{5}^{2}}{3.75}$=62N
根据牛顿第三定律，小物块对轨道的压力大小是62N．
（2）小物块由B点运动到C点，根据定能定理有：
$-umgL-2mgr=\frac{1}{2}mv_C^2-\frac{1}{2}mv_B^2$
在C点，由牛顿第二定律得：${F_N}^′+mg=\frac{mv_C^2}{r}$
代入数据解得：${F_N}^′=60N$
根据牛顿第三定律，小物块通过C点时对轨道的压力大小是60N．
（3）小物块刚好能通过C点时，根据 $mg=\frac{mv'_C^2}{r}$，解得：$v_C^'$=$\sqrt{gr}$=$\sqrt{10×0.4}$=2m/s
小物块从B点运动到C点的过程，根据动能定理有：
$-μmgL'-2mgr=\frac{1}{2}mv{_C^'^2}-\frac{1}{2}mv_B^2$
代入数据解得：L'=10m
答：（1）小物块经过B点时对轨道的压力大小是62N．
（2）若MN的长度为L=6m，小物块通过C点时对轨道的压力大小是60N．
（3）若小物块恰好能通过C点，MN的长度L'是10m．
点评 解决本题的关键要理清物块的运动过程，掌握平抛运动的规律，分析圆周运动向心力的来源，并把握圆周运动的临界条件．
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| C． | e=NBωScos（ωt），电流方向为abcda | D． | e=NBωScos（ωt），电流方向为adcba |