Question

19．如图所示，在xoy平面y＞O的区域内有沿y轴负方向的匀强电场，在y＜O的区域内有垂直于xoy平面向里的匀强磁场．一质量为m、电荷量为q的带电粒子从坐标为（2l，l）的P点以初速度v₀沿x轴负方向开始运动，恰能从坐标原点O进入磁场..不计带电粒子重力．
（1）求匀强电场场强的大小
（2）若带电粒子每隔相同的时间以相同的速度通过O点，则磁感应强度大小B₁为多少？
（3）若带电粒子离开P点后只能通过O点两次，则磁感应强度大小B₂为多少？

Answer 1

分析 （1）带电粒子在电场中做类平抛运动，根据类平抛运动规律求解出匀强电场场强的大小．
（2）由几何关系和对称性，确定粒子圆周运动的半径，然后由牛顿第二定律求出B₁．
（2）要使粒子经过O点，则需满足：ns=$\sqrt{2}$r₂（n=1，2，3…），然后由牛顿第二定律求B₂；

解答 解：（1）带电粒子在电场中做类平拋运动
水平方向上：x=2l=v₀t             
竖直方向上：y=l=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$=$\frac{qE}{2m}{t}^{2}$
化简可得 E=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2ql}$
（2）根据类平抛运动 v_y=at=$\frac{qE}{m}t$
可得 v_y=v₀，θ=45°
    v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=$\sqrt{2}{v}_{0}$
在磁场中，有 qvB₁=m$\frac{{v}^{2}}{{r}_{1}}$
由几何关系得 2r₁sinθ=4l
联立解得 B₁=$\frac{m{v}_{0}}{2ql}$
（3）带电粒子从O点进入磁场后做半径为r₂的匀速圆周运动，设粒子连续两次进入磁场位置间的距离为s，
由对称性和几何关系知：s=4l-$\sqrt{2}$r₂
要使粒子经过O点，则需满足：
ns=$\sqrt{2}$r₂（n=1，2，3…）
由qvB₂=m$\frac{{v}^{2}}{{r}_{2}}$，
解得：B₂=$\frac{（n+1）m{v}_{0}}{2nql}$（n=1，2，3…）
答：
（1）匀强电场场强的大小为$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2ql}$．
（2）若带电粒子每隔相同的时间以相同的速度通过O点，则磁感应强度大小B₁为B₁$\frac{m{v}_{0}}{2ql}$．
（3）若带电粒子离开P点后只能通过O点两次，则磁感应强度大小B₂为$\frac{（n+1）m{v}_{0}}{2nql}$（n=1，2，3…）．

点评 本题考查带电粒子在复合场中的运动，综合性较强，对学生能力的要求较高，关键要理清带电粒子的运动规律．