Question

12．如图所示，一长木板放在光滑水平面上，右端用一轻绳与立杆相连，长木板上左端有一轻弹簧，弹簧的左端固定在长木板的左端B，弹簧处于原长，弹簧长为0.4m，长木板质量为0.3kg，长为1m，在长木板的右端A有一木块，质量为0.2kg，木块可以看成质点，木块与木板间的动摩擦因数为0.3，现给木块一个向左的初速度，大小为3m/s，结果物块停在了离A点0.2m的位置，求：
（1）木块与弹簧刚要接触时的速度；
（2）弹簧的最大压缩量；
（3）若给木块初速度的一瞬间剪断轻绳，木块与弹簧刚要接触时的速度又是多大？木块和木板最终的速度各是多大？

Answer 1

分析 （1）研究木块从A运动到弹簧右侧的过程，运用动能定理列式，可求得木块与弹簧刚要接触时的速度．
（2）对A向左和向右运动的过程，分别由能量守恒定律列式，可求出弹簧的最大压缩量．
（3）剪断轻绳，木块与木板组成的系统动量守恒，能量也守恒．分别由动量守恒定律和能量守恒定律列式，即可求解．

解答 解：（1）木块从A运动到弹簧右侧的过程，由动能定理得
-μmgx₁=$\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
得 v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}-2μg{x}_{1}}$=$\sqrt{{3}^{2}-2×0.3×10×0.6}$≈2.3m/s
（2）设弹簧的最大压缩量为x，弹簧的最大弹性势能为E_p．
根据能量守恒定律得：
木块向左运动过程有 $\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=μmg（x+x₁）+E_p；
木块向右运动过程有 μmg（x+x₂）=E_p；
联立得  $\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=μmg（2x+x₁+x₂）
代入得：$\frac{1}{2}$×0.2×3²=0.3×0.2×（2x+0.6+0.4）
解得 x=0.25m
（3）剪断轻绳后，设木块与弹簧刚要接触时的速度木块与木板的速度分别为v₁和v₂．
取向左方向为正方向，根据系统动量守恒得：
  mv₀=mv₁+Mv₂；
根据能量守恒定律得：
  μmgx₁=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$-$\frac{1}{2}M{v}_{2}^{2}$
联立解得v₁≈2.55m/s，v₂=0.3m/s
最终木块和木板速度相同，设最终的速度为v′．根据动量守恒定律得
 mv₀=（m+M）v′；
解得 v′=1.2m/s
答：
（1）木块与弹簧刚要接触时的速度是2.3m/s；
（2）弹簧的最大压缩量是0.25m；
（3）若给木块初速度的一瞬间剪断轻绳，木块与弹簧刚要接触时的速度又是2.55m/s和0.3m/s，木块和木板最终的速度各是1.2m/s．

点评 解决本题的关键能够正确地分析木块和木板的能量是如何转化的，准确选择研究对象，根据系统的动量守恒和能量守恒研究这类问题．