Question

15．如图所示，虚线OC与y轴的夹角θ=60°，在此角范围内有一方向垂直于xOy平面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场．一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子a（不计重力）从y轴的点M（0，L）沿x 轴的正方向射入磁场中．求：
（1）要使粒子a离开磁场后垂直经过x轴，该粒子的初速度v₁为多大；
（2）若大量粒子a同时以v₂=$\frac{qBL}{2m}$从M点沿xOy平面的各个方向射入磁场中，则从OC边界最先射出的粒子与最后射出的粒子的时间差．

Answer 1

分析 （1）作出粒子运动轨迹，根据题意应用几何知识求出距离．
（2）由牛顿第二定律求出轨道半径，然后求出周期．根据粒子转过的圆心角与粒子做圆周运动的周期，根据t=$\frac{θ}{2π}T$求出粒子的运动时间．

解答 解：（1）粒子a竖直向下穿过OC，在磁场中轨迹圆心如图为O₁，OO₁=Rcotθ，OO₁=L-R，得R=$\frac{3-\sqrt{3}}{2}L$

由$q{v}_{1}B=\frac{m{v}_{1}^{2}}{R}$，得${v}_{1}=\frac{（3-\sqrt{3}）qBL}{2m}$
（2）由$q{v}_{2}B=\frac{m{v}_{2}^{2}}{R}$，得R=$\frac{1}{2}L$，最后出磁场的粒子转过了一个优弧，且圆与OC相切与N点，如图，

设此情况下初速度的方向与y轴之间的夹角为β，现以O点为坐标原点，以OC为x′轴，以垂直于x′轴的方向为y′轴建立新的坐标系，设O′的坐标为（x₀′，$\frac{1}{2}L$），则圆的方程为：
$（x′-{x}_{0}′）^{2}+（y′-\frac{1}{2}L）^{2}=\frac{{L}^{2}}{4}$
M点的横坐标：${M}_{x′}=L•cos60°=\frac{1}{2}L$，${M}_{y′}=Lsin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}L$
N点的坐标：N_x′=x₀′，N_y′=0
将M点的坐标代入圆的方程，得：${（\frac{L}{2}-{x}_{0}′）}^{2}+{（\frac{\sqrt{3}L}{2}-\frac{1}{2}L）}^{2}=\frac{{L}^{2}}{4}$
将N点的坐标代入圆的方程，得：${（{x}_{0}′-{x}_{0}′）}^{2}+{（0-\frac{1}{2}L）}^{2}=\frac{{L}^{2}}{4}$
联立圆的方程得：${x}_{0}′=\frac{1}{2}L+\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}L$
所以直线OO′的长度：$b=\sqrt{x{′}_{0}^{2}+（\frac{L}{2}）^{2}}$
在△OO′M中，由勾股定理得：
${b}^{2}={L}^{2}+{（\frac{L}{2}）}^{2}-2×L×\frac{L}{2}•cos（90°-β）$
代入数据解得：sinβ=0.29335
查数学用表可知，β≈17°
所以粒子偏转的角度：φ=180°+60°-17°=223°
粒子在磁场 中运动的时间为t₁=$\frac{223°}{360°}•T=\frac{223}{360}•\frac{2πm}{qB}$
MF为垂直OC的一条弦，则MF为最短的弦，从F点射出的粒子运动时间最短，此时轨迹圆心为O₂，

由三角形关系得MF=Lsinθ=$\frac{\sqrt{3}}{2}L$
$α=\frac{1}{2}∠M{O}_{2}F$
$sinα=\frac{\frac{1}{2}MF}{R}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
所以：α=60°
此粒子的运动时间t₂=$\frac{2α}{360°}•T=\frac{2πm}{3qB}$
时间差为△t=t₁-t₂=$\frac{103}{180}•\frac{πm}{qB}$
答：（1）要使粒子a离开磁场后垂直经过x轴，该粒子的初速度v₁为$\frac{（3-\sqrt{3}）qBL}{2m}$；
（2）从OC边界最先射出的粒子与最后射出的粒子的时间差是$\frac{103}{180}•\frac{πm}{qB}$．

点评 本题考查了求粒子做圆周运到达周期、运动时间等问题，难度较大，尤其是计算最长时间时，对数学能量的要求太高；根据几何关系求出带电粒子在磁场中的偏转角有两个，要注意分别进行求解．