Question

7．如图所示，由导线制成的正方形线框边长L，每条边的电阻均为R，其中ab边材料较粗且电阻率较大，其质量为m，其余各边的质量均可忽略不计．线框可绕与cd边重合的水平轴OO′自由转动，不计空气阻力及摩擦．若线框始终处在方向竖直向下、磁感强度为B的匀强磁场中，线框从水平位置由静止释放，历时t到达竖直位置，此时ab边的速度为v，重力加速度为g．求：
（1）线框在竖直位置时，ab边两端的电压及其所受安培力的大小．
（2）这一过程中感应电动势的有效值．
（3）在这一过程中，通过线框导线横截面的电荷量．

Answer 1

分析 （1）根据切割产生的感应电动势公式求出电动势，根据闭合电路欧姆定律求出ab两端的电压，以及电流的大小，通过安培力大小公式求出安培力的大小．
（2）根据能量守恒定律求出整个过程中的热量，抓住克服克服力做功等于产生的热量求出感应电流做的功，以及通过热量的公式求出感应电动势的有效值．
（3）根据法拉第电磁感应定律和闭合电路欧姆定律求出平均电流，从而求出通过线框导线横截面的电荷量．

解答 解：（1）ab边切割磁感线产生感应电动势为E=BLv，
线框中的电流为I=$\frac{E}{4R}$，
ab两端的电压为U_ab=I•3R=$\frac{3}{4}$BLv
ab边所受安培力为F_安=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{4R}$．      
（2）线框下落过程中机械能的减少等于线框中产生的焦耳热，
所以有mgL-$\frac{1}{2}$mv²=Q，
又因Q=（$\frac{E}{4R}$）²（4R）t，
解得：E=2$\sqrt{\frac{（mgL-\frac{1}{2}m{v}^{2}）R}{t}}$．      
（3）对于线框的下摆过程，垂直磁场线框的面积变化为△S=L²，
线框中的平均感应电动势为$\overline{E}$$\frac{△∅}{△t}$，线框中的平均电流$\overline{I}$=$\frac{\overline{E}}{4R}$=$\frac{B{L}^{2}}{4Rt}$．    
通过线框导线横截面的电荷量：q=$\overline{I}t$=$\frac{B{L}^{2}}{4R}$；      
答：（1）线框在竖直位置时，ab边两端的电压及其所受安培力的大小$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{4R}$．
（2）这一过程中感应电动势的有效值2$\sqrt{\frac{（mgL-\frac{1}{2}m{v}^{2}）R}{t}}$．
（3）在这一过程中，通过线框导线横截面的电荷量$\frac{B{L}^{2}}{4R}$．

点评 解决本题的关键掌握瞬时感应电动势和平均感应电动势的求法，以及知道它们的区别．