题目内容
【题目】如图所示，质量为M=4.5kg的长木板置于光滑水平地面上，质量为m=1.5kg的小物块放在长木板的右端，在木板右侧的地面上固定着一个有孔的弹性挡板，孔的尺寸刚好可以让木板无接触地穿过。现使木板和物块以v0=4m/s的速度一起向右匀速运动，物块与挡板碰撞后立即以碰前的速率反向弹回，而木板穿过挡板上的孔继续向右运动，整个过程中物块不会从长木板上滑落。已知物块与挡板第一次碰撞后，物块离开挡板的最大距离为x1=1.6m，重力加速度g=10m/s2：
(1)求物块与木板间的动摩擦因数；
(2)若物块与挡板第n次碰撞后，物块离开挡板的最大距离为xn=6.25×10-3m，求n；
(3)求长木板的长度至少应为多少？
【答案】(1)0.5；(2)5；(3)6.4m。
【解析】
⑴物块与挡板第一次碰撞后，物块向左减速到速度为0的过程中只有摩擦力做功，由动能定理得
－μmgx1=0－
mv02 ①
解得
μ=0.5 ②
⑵物块与挡板碰后，物块与木板组成的系统动量守恒，取水平向右为正方向。
设第一次碰撞后系统的共同速度为v1，由动量守恒定律得
Mv0－mv0=(M＋m）v1 ③
v1=
=v0 ④
设物块由速度为0加速到v1的过程中运动的位移为x1′
μmgx1′=mv12 ⑤
由①⑤式得
x1′=
x1 ⑥
即物块与挡板第二次碰撞之前，物块与木板已经达到共同速度v1
第二次碰撞后，小物块反弹后瞬间速度大小为v1
经一段时间系统的共同速度为
v2=
=
v0
第三次碰撞后，小物块反弹后瞬间速度大小为v2
经一段时间系统的共同速度为
v3=
=
v0
第n次碰撞后，小物块反弹后瞬间速度大小为
vn-1=
=
v0 ⑦
由动能定理得
－μmgxn=0－mvn-12 ⑧
由①⑦⑧式得
n=5 ⑨
⑶由分析知，物块多次与挡板碰撞后，最终将与木板同时都静止。设物块在木板上的相对位移为L，由能量守恒定律得
μmgL=（M＋m）v02 ⑩
解得
L=6.4m
即木板的长度至少应为6.4m。
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