Question

2．如图所示，A、B为水平放置的平行金属板，在两板之间有一带正电的粒子，现在A、B间加上如图所示的随时间周期性变化的电压．设带电粒子t=0时刻从P点由静止释放后在0-t₀时间内运动的位移x₀和图中t₀是已知的．带电粒子不与板相碰，不考虑带电粒子的重力．试求带电粒子t=0时刻从P点由静止释放后：

（1）第一次速度为0时离开P点的距离；
（2）第二次速度为0时运动的时间；
（3）再次通过P点时的速度大小．

Answer 1

分析 （1）在0～t₀时间内，带正电粒子受到的电场力方向竖直向上，运动的位移x₀，在t₀～2t₀时间内，带正电粒子受到的电场力竖直向下，粒子做减速运动，由速度与位移关系求出运动的位移，最后计算出第一次速度为0时离开P点的距离；
（2）分析粒子在2t₀～3t₀内的运动情况，最后计算出第二次速度为0时运动的时间；
（3）分析粒子在t₀～2t₀，2t₀～3t₀，3t₀-4t₀，4t₀-5t₀内的运动情况，最后用速度与位移关系，求出再次通过P点时的速度大小．

解答 解：（1）在0～t₀时间内，带正电粒子受到的电场力方向竖直向上，大小为设为F₁
加速度设为a₁
则运动的位移${x}_{0}=\frac{1}{2}{a}_{1}{t}_{0}^{2}$ 
此时粒子的速度v=$\sqrt{2{a}_{1}{x}_{0}}$=a₁t₀
在t₀～2t₀时间内，带正电粒子受到的电场力竖直向下，粒子做减速运动
电压大小变为原来的$\frac{3}{2}$，故受到的电场力大小变为$\frac{3}{2}{F}_{1}$
加速度a₂大小变为$\frac{3}{2}{a}_{1}$
由速度与位移关系有：${v}^{2}=2×\frac{3}{2}{a}_{1}x′$
解得x′=$\frac{2{x}_{0}}{3}$
则第一次速度为0时离开P点的距离为x₀+x′=$\frac{5{x}_{0}}{3}$；
（2）减速阶段的时间 ${t}_{1}=\frac{v}{\frac{3}{2}{a}_{1}}=\frac{2}{3}{t}_{0}$
故还有$2{t}_{0}-{t}_{0}-{t}_{1}=\frac{1}{3}{t}_{0}$时间，带正电粒子受到的电场力竖直向下，粒子向下做匀加速运动
加速到${v}_{1}=\frac{3}{2}{a}_{1}•\frac{1}{3}{t}_{0}=\frac{v}{2}$，向下匀加速运动的位移为${x}_{2}=\frac{1}{2}•\frac{3}{2}{a}_{1}（\frac{1}{3}{t}_{0}）^{2}$=$\frac{{x}_{0}}{6}$；
电压反向，带正电粒子受到的电场力竖直向上，粒子向下做匀减速运动
需要t₂时间速度减为0，则t₂=$\frac{{v}_{1}}{{a}_{1}}=\frac{{t}_{0}}{2}$
故第二次速度为0时运动的时间为2t₀+t₂=$\frac{5{t}_{0}}{2}$；
向下匀减速运动的位移${x}_{3}={v}_{1}•\frac{{t}_{0}}{2}-\frac{1}{2}{a}_{1}（\frac{{t}_{0}}{2}）^{2}$=$\frac{{x}_{0}}{4}$
（3）在2t₀-3t₀内先向上做减速运动，速度减为0时的位移为$\frac{{v}_{2}}{2}{t}_{2}=\frac{{x}_{0}}{4}$
再向下做加速运动，在3t₀时刻粒子的速度为v₃=a₁（t₀-t₂）=$\frac{{x}_{0}}{{t}_{0}}$
向下运动的位移${x}_{2}^{′}=\frac{{v}_{3}}{2}（{t}_{0}-{t}_{2}）=\frac{{x}_{0}}{4}$
即在3t₀时粒子离P的距离$X=\frac{3}{2}{x}_{0}$
在3t₀-4t₀内先向下减速，速度第三次减为0的时间${t}_{3}=\frac{{v}_{3}}{{a}_{2}}=\frac{{t}_{0}}{3}$
位移${x}_{3}^{′}=\frac{{v}_{3}}{2}{t}_{3}=\frac{{x}_{0}}{6}$
再向上加速，4t₀时刻的速度${v}_{4}={a}_{2}（{t}_{0}-{t}_{3}）=\frac{2{x}_{0}}{{t}_{0}}$
位移为${x}_{4}=\frac{{v}_{4}}{2}（{t}_{0}-{t}_{3}）=\frac{2{x}_{0}}{3}$
4t₀时距离P点的距离$X′=X+{x}_{3}^{′}-{x}_{4}=\frac{{x}_{0}}{2}$
在4t₀-5t₀内先向上减速，速度减为0的时间为${t}_{4}=\frac{{v}_{4}}{{a}_{1}}={t}_{0}$
即在这个时间段内通过P点，速度设为v₅
根据${v}_{5}^{2}-{v}_{4}^{2}=2{a}_{1}X′$
解得${v}_{5}=\frac{\sqrt{2}{x}_{0}}{{t}_{0}}$
答：
（1）第一次速度为0时离开P点的距离为$\frac{5{x}_{0}}{3}$；
（2）第二次速度为0时运动的时间为$\frac{5{t}_{0}}{2}$；
（3）再次通过P点时的速度大小为$\frac{\sqrt{2}{x}_{0}}{{t}_{0}}$．

点评 带电粒子在电场中运动的问题，是电场知识和力学知识的综合应用，分析方法与力学分析方法基本相同，关键在于分析粒子的受力情况和运动情况．