Question

17．如图所示，在直角坐标系xOy的第一象限存在与x轴负方向成30°角的匀强电场，其场强为E（大小未知），在第二象限内有一沿y轴负方向的匀强电场，场强为E′，在第四象限的某区域存在一矩形磁场（图中未画出），其方向垂直纸面向里．现有一质量为m、电荷量为q的带正电粒子以平行x轴正方向的速度v₀从第二象限中的P点射入电场，从坐标原点O离开电场进人磁场，再经x轴上的某点离开磁场进人第一象限的电场，最后经过y轴上的N点进人第二象限的电场，已知粒子的重力不计，电场强度E与磁感应强度B满足关系式$\frac{E}{B}$=v₀，P点的坐标为（-l，$\frac{\sqrt{3}}{2}$l），N点坐标为（0，$\sqrt{3}$l）．求：
（1）电场强度E的大小；
（2）矩形匀强磁场的最小面积；
（3）两匀强电场场强E′与E的比值．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件变形求得E
（2）画出粒子在磁场中匀速圆周运动的轨迹，作出最小磁场区域的边界线，求出面积
（3）根据类平抛运动规律求E′，从而求出比值

解答 解（1）根据题意得：$E=B{v}_{0}^{\;}$
（2）在电场E′中粒子做类平抛运动，到达O点时速度的反向延长线交水平位移的中点，设O点速度与水平方向的夹角为θ，有：
$tanθ=\frac{\frac{\sqrt{3}l}{2}}{\frac{l}{2}}=\sqrt{3}$
得：θ=60°，
根据几何关系有：${v}_{O}^{\;}=2{v}_{0}^{\;}$
在磁场中做匀速圆周运动，圆心角2θ=120°，洛伦兹力提供向心力，有：
$q（2{v}_{0}^{\;}）B=m\frac{（2{v}_{0}^{\;}）_{\;}^{2}}{R}$
得：$R=\frac{2m{v}_{0}^{\;}}{qB}$
最小的矩形面积为：${S}_{min}^{\;}=（2Rcos30°）（R-Rsin30°）$=$\frac{\sqrt{3}}{2}{R}_{\;}^{2}$=$\frac{2\sqrt{3}{m}_{\;}^{2}{v}_{0}^{2}}{{q}_{\;}^{2}{B}_{\;}^{2}}$
（3）粒子离开矩形磁场边界进入第一象限时，速度方向与x轴夹角为60°，△OBC是等边三角形，粒子进入进入第一象限速度方向与电场线垂直，粒子做类平抛运动
垂直电场线方向：$（\sqrt{3}l-R）cos30°=2{v}_{0}^{\;}t′$
沿电场线方向：$（\sqrt{3}l-R）sin3{0}_{\;}^{°}+2R=\frac{1}{2}\frac{qE}{m}{t}_{\;}^{'2}$
在第二象限的电场E′中：水平方向$l={v}_{0}^{\;}t$
$\frac{\sqrt{3}l}{2}=\frac{1}{2}\frac{qE′}{m}{t}_{\;}^{2}$
联立得$E′=\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}^{2}}{ql}$
$\frac{E′}{E}=\frac{\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}^{2}}{ql}}{B{v}_{0}^{\;}}=\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}^{\;}}{qBl}$
答：（1）电场强度E的大小$B{v}_{0}^{\;}$；
（2）矩形匀强磁场的最小面积$\frac{2\sqrt{3}{m}_{\;}^{2}{v}_{0}^{2}}{{q}_{\;}^{2}{B}_{\;}^{2}}$；
（3）两匀强电场场强E′与E的比值$\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}^{\;}}{qBl}$

点评 本题题目过程较多，知识点分析较多，整体而言题目很基础，主要考查的是带电粒子在电场中的运动和在磁场中的偏转．