Question

9．在光滑水平地面上有一凹槽A，中央放一小物块B，物块与左右两边槽壁的距离如图所示，L为1.0m，凹槽与物块的质量均为m，两者之间的动摩擦因数μ为0.05，开始时物块静止，凹槽以v₀=5m/s初速度向右运动，设物块与凹槽槽壁碰撞过程中没有能量损失，且碰撞时间不计．g取10m/s²．求：
（1）从凹槽开始运动到两者相对静止物块与右侧槽壁碰撞的次数；
（2）从凹槽开始运动到两者刚相对静止所经历的时间及该时间内凹槽运动的位移大小．

Answer 1

分析 （1）碰撞过程中动量守恒，根据动量守恒定律列式即可求解速度；再对整体根据动能定理列式即可求解；
（2）设凹槽与物块碰前的速度分别为v₁、v₂，碰后的速度分别为v₁′、v₂′．根据动量守恒定律及能量守恒定律列式可知，每碰撞一次凹槽与物块发生一次速度交换，在同一坐标系上两者的速度图线，根据碰撞次数可分为13段，凹槽、物块的v-t图象在两条连续的匀变速运动图线间转换，故可用匀变速直线运动规律求时间，凹槽的v-t图象所包围的阴影面积即为凹槽的位移大小．

解答 解：（1）设两者间相对静止时的速度为v，设向右为正方向；则由动量守恒定律得：
mv₀=2mv
解得：v=$\frac{{v}_{0}}{2}=\frac{5}{2}=2.5m/s$
物块与凹槽间的滑动摩擦力f=μN=μmg
设两者间相对静止前，相对运动的路程为s₁，由动能定理得：
$-f{s}_{1}=\frac{1}{2}（m+m）{v}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$
解得：s₁=12.5m
已知L=1m，可推知物块与右侧槽壁共发生6次碰撞．
（2）设凹槽与物块碰前的速度分别为v₁、v₂，碰后的速度分别为v₁′、v₂′．有
mv₁+mv₂=mv₁′+mv₂′，$\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}+{{\frac{1}{2}mv}_{2}}^{2}=\frac{1}{2}m{v}_{1}{′}^{2}+{\frac{1}{2}mv}_{2}{′}^{2}$
得 v₁′=v₂，v₂′=v₁
即每碰撞一次凹槽与物块发生一次速度交换，在同一坐标系上两者的速度图线如图所示，
根据碰撞次数可分为13段，凹槽、物块的v-t图象在两条连续的匀变速运动图线间转换，
故可用匀变速直线运动规律求时间．则
v=v₀+at，a=-μg
解得：t=5s
凹槽的v-t图象所包围的阴影面积即为凹槽的位移大小s₂．（等腰三角形面积共分13份，第一份面积为0.5L．其余每份面积均为L．）
${s}_{2}=\frac{1}{2}（\frac{{v}_{0}}{2}）t+6.5L=12.75m$
答：（1）从凹槽开始运动到两者相对静止物块与右侧槽壁碰撞的次数6次；
（2）从凹槽开始运动到两者刚相对静止所经历的时间为5s，该时间内凹槽运动的位移大小为12.75m．

点评 本题主要考查了动量守恒定律、动能定理及能量守恒定律的直接应用，要求同学们能正确分析物体的运动情况，能根据题意画出速度-时间图象，难度适中．