题目内容

精英家教网如图所示，半径为R的光滑半圆环轨道竖直固定在一水平光滑的桌面上，桌面距水平地面的高度也为R，在桌面上轻质弹簧被a、b两个小球挤压（小球与弹簧不拴接），处于静止状态．同时释放两个小球，小球a、b与弹簧在水平桌面上分离后，a球从B点滑上光滑半圆环轨道并恰能通过半圆环轨道最高点A，b球则从桌面C点滑出后落到水平地面上，落地点距桌子右侧的水平距离为
5
2
R．已知小球a质量为m，重力加速度为g．求：
（1）释放后b球离开弹簧时的速度大小．
（2）释放后a球离开弹簧时的速度大小．
（3）小球b的质量．
（4）释放小球前弹簧具有的弹性势能．
分析：（1）b球离开桌面后做平抛运动，根据平抛运动的规律列式求解b球离开弹簧时的速度大小；
（2）小球a恰好能通过A点，由重力提供向心力，根据牛顿第二定律列式求解通过A点速度，然后根据机械能守恒定律求解a球刚离开弹簧时的速度；
（3）对于弹簧释放的过程，两球组成的系统动量守恒，列式求解小球b的质量．
（4）弹簧弹开两个球过程，系统机械能守恒，总动量也守恒，根据守恒定律列方程求解．
解答：解：（1）b球则从桌面C点滑出做平抛运动，则：
  竖直分运动：h=
1
2
gt2
  水平分运动：vb=
x
t

代入数据求得：vb=
5gR
2

故释放后b球离开弹簧时的速度大小为
5gR
2
；
（2）a球恰能通过半圆环轨道最高点A，由重力提供向心力，根据牛顿第二定律，有：mg=m
v
2
A
R
；
a球从B运动到A过程中机械能守恒，固有：
1
2
m
v
2
B
=
1
2
m
v
2
A
+2mgR；
联立解得：va=vB=
5gR

即释放后a球离开弹簧时的速度大小为
5gR
；
（3）以a、b两球与弹簧组成的系统为研究对象，取向右方向为正方向，对于弹簧释放的过程，由动量守恒得：
  0=mva-mbvb
解得：mb=2m
（4）弹簧的弹性势能为：EP=
1
2
mav
 
2
a
+
1
2
mbvb2 
解得：EP=3.75mgR
故释放小球前弹簧具有的弹性势能为3.75mgR．
答：（1）释放后b球离开弹簧时的速度大小为
5gR
2
；
（2）释放后a球离开弹簧时的速度大小为
5gR
；
（3）小球b的质量为2m；
（4）释放小球前弹簧具有的弹性势能为3.75mgR．
点评：本题关键明确两个球各个过程中的运动情况，然后对分别运用动量守恒定律、机械能守恒定律、平抛运动的规律列式求解．
练习册系列答案
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A、
μgr
B、
μg
C、
g
r
D、
g
μr

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