Question

（19分）如图为某种鱼饵自动投放器中的投饵管装置示意图，其下半部AB是一长为2R的竖直细管，上半部BC是半径为R的四分之一圆弧弯管，管口沿水平方向，AB管内有一原长为R、下端固定的轻质弹簧。投饵时，每次总将弹簧长度压缩到0.5R后锁定，在弹簧上端放置一粒鱼饵，解除锁定，弹簧可将鱼饵弹射出去。设质量为m的鱼饵到达管口C时，对管壁的作用力恰好为零。不计鱼饵在运动过程中的机械能损失，且锁定和解除锁定时，均不改变弹簧的弹性势能。已知重力加速度为g。求：

⑴质量为m的鱼饵到达管口C时的速度大小v₁；

⑵弹簧压缩到0.5R时的弹性势能E_p；

⑶已知地面与水面相距1.5R，若使该投饵管绕AB管的中轴线OO′在90º角的范围内来回缓慢转动，每次弹射时只放置一粒鱼饵，鱼饵的质量在2m/3到m之间变化，且均能落到水面。持续投放足够长时间后，鱼饵能够落到水面的最大面积S是多少？

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）3mgR（3）

【解析】（1）质量为m的鱼饵到达管口C时做圆周运动的向心力完全由重力提供，则mg =

解得　v₁ =

（2）弹簧的弹性势能全部转化为鱼饵的机械能，由机械能守恒定律有E_P = mg(1.5R+R)+

解得　E_P = 3mgR

（3）不考虑因缓慢转动装置对鱼饵速度大小的影响，质量为m的鱼饵离开管口C后做平抛运动，设经过t时间落到水面上，离OO′的水平距离为x₁，由平抛运动规律有

4.5R = ，x₁ = v₁t+R，解得　x₁ = 4R

当鱼饵的质量为时，设其到达管口C时速度大小为v₂，由机械能定律有

E_P =

解得　v₂ =

质量为的鱼饵落到水面上时，设离OO′的水平距离为x₂，则x₂ = v₂t+R

解得　x₂ = 7R

鱼饵能够落到水面的最大面积S = ≈ 8.25πR³