题目内容
如图为某种鱼饵自动投放器中的投饵管装置示意图，其下半部AB是一长为y（y可调且y≥R）的竖直细管，上半部BC是半径为R的四分之一圆弧弯管，管口沿水平方向，AB管内有一原长为R、下端固定的轻质弹簧．投饵时，每次总将弹簧长度压缩到0.5R后锁定，在弹簧上段放置一粒鱼饵，解除锁定，弹簧可将鱼饵弹射出去．当y=2R，则质量为m的鱼饵到达管口C时，对管壁的作用力恰好为零．不计鱼饵在运动过程中的机械能损失，且锁定和解除锁定时，均不改变弹簧的弹性势能．已知重力加速度为g．求：（1）质量为m的鱼饵到达管口C时的速度大小v1；
（2）弹簧压缩到0.5R时的弹性势能Ep；
（3）已知地面与水面相距0.25R，当y为何值时，鱼饵在水面的落点与C点的水平距离最大．
分析：（1）根据牛顿第二定律，抓住在C点作用力为零，求出鱼饵在C点的速度大小．
（2）不计鱼饵在运动过程中的机械能损失，所以鱼饵增加的机械能都是弹簧做功的结果，由功能关系知道弹簧具有的弹性势能等于鱼饵增加的机械能．
（3）y越大，鱼饵到达C点的速度越小，做平抛运动的时间越长，y越小，鱼饵到达C点的速度越大，但是平抛运动的时间越短，根据能量守恒结合平抛运动的规律求出水平距离表达式，结合数学知识求出y为何值，鱼饵在水面的落点与C点的水平距离最大．
（2）不计鱼饵在运动过程中的机械能损失，所以鱼饵增加的机械能都是弹簧做功的结果，由功能关系知道弹簧具有的弹性势能等于鱼饵增加的机械能．
（3）y越大，鱼饵到达C点的速度越小，做平抛运动的时间越长，y越小，鱼饵到达C点的速度越大，但是平抛运动的时间越短，根据能量守恒结合平抛运动的规律求出水平距离表达式，结合数学知识求出y为何值，鱼饵在水面的落点与C点的水平距离最大．
解答：解：（1）由题意知，质量为m的鱼铒到达管口C时做圆周运动的向心力完全由重力提供，则：
mg=m
…①
由①式解得：v=
．
（2）弹簧的弹性势能全部转化为鱼铒的机械能，由机械能守恒定律得：
Ep=mg（1.5R+R）+
mv2…③
由②③两式解得：Ep=3mgR
（3）根据能量守恒得，Ep=mg(y-0.5R+R)+
mv′2
y+R+0.25R=
gt2
x=v′t
联立三式解得x=
?
=
=
y=
时，鱼饵在水面的落点与C点的水平距离最大．
答：（1）质量为m的鱼饵到达管口C时的速度大小为
．
（2）弹簧压缩到0.5R时的弹性势能为3mg．
（3）当y=
时，鱼饵在水面的落点与C点的水平距离最大．
mg=m
| v2 |
| R |
由①式解得：v=
| gR |
（2）弹簧的弹性势能全部转化为鱼铒的机械能，由机械能守恒定律得：
Ep=mg（1.5R+R）+
| 1 |
| 2 |
由②③两式解得：Ep=3mgR
（3）根据能量守恒得，Ep=mg(y-0.5R+R)+
| 1 |
| 2 |
y+R+0.25R=
| 1 |
| 2 |
x=v′t
联立三式解得x=
| 5gR-2gy |
|
| (5R-2y)(2y+2.5R) |
-(2y-
|
y=
| 5R |
| 8 |
答：（1）质量为m的鱼饵到达管口C时的速度大小为
| gR |
（2）弹簧压缩到0.5R时的弹性势能为3mg．
（3）当y=
| 5R |
| 8 |
点评：本题考查了圆周运动最高点的动力学方程以及机械能守恒定律的应用，难度适中．
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