题目内容
在光滑绝缘的水平桌面上，有两个质量均为m，电量为+q的完全相同的带电粒子P1和P2，在小孔A处以初速度为零先后释放．在平行板间距为d的匀强电场中加速后，P1从C处对着圆心进入半径为R的固定圆筒中（筒壁上的小孔C只能容一个粒子通过），圆筒内有垂直水平面向上的磁感应强度为B的匀强磁场．P1每次与筒壁发生碰撞均无电荷迁移，P1进入磁场第一次与筒壁碰撞点为D，∠COD=θ，如图所示．延后释放的P2，将第一次欲逃逸出圆筒的P1正碰圆筒内，此次碰撞刚结束，立即改变平行板间的电压，并利用P2与P1之后的碰撞，将P1限制在圆筒内运动．碰撞过程均无机械能损失．设d=| 5 |
| 8 |
附：部分三角函数值
| φ |
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||||||||||||||||||
| tanφ | 3.08 | 1.73 | 1.00 | 0.73 | 0.58 | 0.48 | 0.41 | 0.36 | 0.32 |
分析：P2与欲逃逸出圆筒的P1正碰圆筒内，两粒子碰撞应当在C点．碰撞过程均无机械能损失，碰后两粒子以原速率返回．P1第一与圆筒碰撞在D点，由几何知识，可求出轨迹半径和C到D的时间，运用归纳法求出在P2和P1相邻两次碰撞时间间隔内，粒子P1与筒壁的可能碰撞次数．
解答：解：粒子在磁场中匀速圆周运动的周期T=
，
由几何知识，得半径r=Rtan
=
从C到D的时间tCD=
T
P1、P2每次碰撞都应当在C点．
设P1在圆筒内转动了n圈和筒壁碰撞了K次后与P2相碰于C点，则K+1=
所以两粒子每次碰撞的时间间隔t=tCD（K+1）=
?
(k+1)=
(k+1)
在t 时间内，P2向左运动x再回到C，平均速度为
t=2
=
≤
=
由上述两式可得，
≥
(k+1)
（k+1）
(1-
)≤
R
tan
(k+1-2n)≤
当 n=1，K=2、3、4、5、6、7 时符合条件，K=1、8、9…不符合条件
当 n=2，3，4…．时，无论K等于多少，均不符合条件．
答：在P2和P1相邻两次碰撞时间间隔内，粒子P1与筒壁的可能碰撞次数为2、3、4、5、6、7．
| 2πm |
| qB |
由几何知识，得半径r=Rtan
| θ |
| 2 |
| mv |
| qB |
从C到D的时间tCD=
| π-θ |
| 2π |
P1、P2每次碰撞都应当在C点．
设P1在圆筒内转动了n圈和筒壁碰撞了K次后与P2相碰于C点，则K+1=
| 2πn |
| θ |
所以两粒子每次碰撞的时间间隔t=tCD（K+1）=
| 2πm |
| qB |
| π-θ |
| 2π |
m(π-
| ||
| qB |
在t 时间内，P2向左运动x再回到C，平均速度为
| v |
| 2 |
t=2
| x | ||
|
| 4x |
| v |
| 4d |
| v |
| 5πR |
| 2v |
由上述两式可得，
| 5πR |
| 2v |
m(π-
| ||
| qB |
（k+1）
| mv |
| qB |
| 2n |
| k+1 |
| 5 |
| 2 |
tan
| nπ |
| k+1 |
| 5 |
| 2 |
当 n=1，K=2、3、4、5、6、7 时符合条件，K=1、8、9…不符合条件
当 n=2，3，4…．时，无论K等于多少，均不符合条件．
答：在P2和P1相邻两次碰撞时间间隔内，粒子P1与筒壁的可能碰撞次数为2、3、4、5、6、7．
点评：归纳法在高中物理中经常用到的方法．不能认为带电粒子在磁场中每转一圈两粒子就碰撞一次．
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