Question

如图所示，ABC和DEF是在同一竖直平面内的两条光滑轨道，其中ABC的末端水平，DEF是半径r=0.4m的半圆形轨道，其直径DF沿竖直方向，C、D可看作重合．现有一质量m=1kg的小球（可视为质点）从轨道ABC上距C点高为H的地方由静止释放．（取g=10m/s²）
（1）要使小球能沿轨道DEF运动，H至少多大？
（2）若小球不沿轨道DEF运动，但又恰好击中与圆心等高的E点，则小球击中E点时的速度多大？
（3）在第（2）问中，若小球到达E点与轨道DEF相撞后，仅保留沿轨道切线方向的速度，则小球到达F点时对轨道的压力多大？

Answer 1

分析：（1）小球从ABC轨道下滑，机械能守恒，设到达C点时的速度大小为υ．小球能在竖直平面内做圆周运动，在圆周最高点必须满足mg≤m

v2

r

，联立即可求解H；
（2）小球恰好击中与圆心等高的E点，根据平抛运动的特点求出C点速度，再根据速度的合成原则求出E点速度；
（3）在E点碰撞后只有竖直方向的速度，根据机械能守恒定律求出到达F点的速度，再根据向心力公式即可求解压力．

解答：解：（1）A、B、小球从ABC轨道下滑，机械能守恒，设到达C点时的速度大小为υ．则：mgH=

1

2

mv2…①
小球能在竖直平面内做圆周运动，在圆周最高点必须满足：mg≤m

v2

r

…②
①、②联立并代入数据得：H≥0.2m
（2）若使小球恰好击中与圆心等高的E点，则
运动的时间为：t=

2r g

=

0.08

s
所以C点的速度为vC=

r

t

=

2

m/s
所以E点速度为v=

vC2+(gt)2

=

10

m/s
（3）设小球在E点碰后的速度为v′_E，到达F点的速度为v_F，则
v_F=gt
由机械能守恒定律得：

1

2

mvE2+mgr=

1

2

mvF2
在F点有：N-mg=

mvF2

r

解得：N=50N
根据牛顿第三定律得：小球到达F点时对轨道的压力为50N
答：（1）要使小球能沿轨道DEF运动，H至少为0.2m；
（2）若小球不沿轨道DEF运动，但又恰好击中与圆心等高的E点，则小球击中E点时的速度为

10m/s

；
（3）在第（2）问中，若小球到达E点与轨道DEF相撞后，仅保留沿轨道切线方向的速度，则小球到达F点时对轨道的压力为50N．

点评：本题是圆周运动结合平抛运动的题型，要知道小球能在竖直平面内做圆周运动，在圆周最高点必须满足mg≤m

v2

r

，若不满足，则小球做平抛运动，难度适中．