Question

6．从地面上以初速度v₀竖直向上抛出一质量为m的球，若运动过程中受到的空气阻力与其速率v成正比关系，球运动的速率随时间变化规律如图所示，t₁时刻到达最高点，再落回地面，落地时速率为v₁，且落地前球已经做匀速运动，求：
（1）球从抛出到落地过程中克服空气阻力所做的功；
（2）球抛出瞬间的加速度大小；
（3）球上升的最大高度H和球从最高点落回到地面所用的时间t₂．

Answer 1

分析 （1）对全过程运用动能定理，求出球从抛出到落地过程中克服空气阻力做功的大小．
（2）根据空气阻力与速率的关系，抓住落地前做匀速直线运动，结合平衡以及牛顿第二定律求出球抛出瞬间的加速度大小．
（3）上升时根据牛顿第二定律（mg+kv）=ma可计算加速度a，取极短△t时间，速度变化△v，有：△v=a△t，上升全程∑△v=0-v₀=∑a△t，把a值代入，分析计算，可求得球上升的最大高度H．下降过程，运用同样的方法求出从最高点落回到地面所用的时间．

解答 解：（1）设克服阻力功为W_f，由动能定理：$-{W}_{f}=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$，
解得：${W}_{f}=\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$．
（2）空气阻力：f=Kv，
落地前匀速运动：mg=Kv₂，
刚抛出时：mg+Kv₀=ma₀，
解得${a}_{0}=（1+\frac{{v}_{0}}{{v}_{1}}）g$．
（3）上升时加速度为a，mg+Kv=ma，
取极短时间△t内，速度变化△v，有：mg△t+Kv△t=ma△t=m△v，
上升的全过程：mg•∑△t+K•∑△v=m•∑△v，
又：∑v△t=∑△h=H，∑△v=0-（-v₀）=v₀，
解得：mgt₁+KH=mv₀，得：H=$\frac{（{v}_{0}-g{t}_{1}）{v}_{1}}{g}$，
下降时加速度为a₂，mg-Kv=ma₂，
同理可得：mg△t-Kv△t=ma₂△t=m△v，
所以：mgt₂-KH=mv₁，
解得：${t}_{2}=\frac{{v}_{0}+{v}_{1}}{g}-{t}_{1}$．
答：（1）球从抛出到落地过程中克服空气阻力所做的功为$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$；
（2）球抛出瞬间的加速度大小为$（1+\frac{{v}_{0}}{{v}_{1}}）g$；
（3）球上升的最大高度H为$\frac{（{v}_{0}-g{t}_{1}）{v}_{1}}{g}$，球从最高点落回到地面所用的时间为$\frac{{v}_{0}+{v}_{1}}{g}-{t}_{1}$．

点评 本题综合运用了动能定理和牛顿运动定律，运用动能定理和牛顿运动定律解题注意要合理地选择研究的过程，列表达式求解．本题第（3）问较难，对数学的要求较高．