题目内容

11．对于同一物理问题，常常可以从宏观与微观两个不同角度进行研究，找出其内在联系，从而更加深刻地理解其物理本质．
（1）一段横截面积为S、长为L的直导线，将该导线放在磁感应强度为B的匀强磁场中，电流方向与磁场方向垂直．若导线内单位体积内有n个自由电子，电子电量为-e，形成电流的自由电子定向移动的速率均为v．试根据通电导线在匀强磁场中受到的安培力，推导电子在磁场中受到的洛伦兹力的表达式．
（2）带电粒子可以在电场或磁场中做匀速圆周运动．已知电子质量为m，电荷量为-e．
a．电子绕氢原子核做匀速圆周运动，已知半径为r，氢原子核的电量为+e，静电力常量为k，则电子绕核转动的等效电流多大？
b．电子在磁感应强度为B的匀强磁场中做匀速圆周运动，则电子做圆周运动的等效电流多大？

分析 （1）先求出电流，再求安培力，然后将安培力分配到每个电子上即可得到洛伦兹力的表达式；
（2）a．等效电流通过电流的定义式，利用电子做圆周运动的向心力由静电力提供来求解；
b．等效电流通过电流的定义式，利用电子做圆周运动的向心力由洛伦兹力提供来求解；

解答 解：（1）横截面积为S、长为L的直导线，导线内单位体积内有n个自由电子，电子电量为-e，形成电流的自由电子定向移动的速率均为v，则单位时间通过横截面积为S的电量q=nSve，故电流I=nSve；所以，通电导线在匀强磁场中受到的安培力F=BIL=nBSLve；
又有横截面积为S、长为L的直导线中共有电子nSL个，所以，将安培力分配到每个电子上可得：每个电子受到的力为$\frac{F}{nSL}=Bve$；
（2）a、电子绕氢原子核做匀速圆周运动，静电力做向心力即$\frac{k{e}^{2}}{{r}^{2}}=\frac{m{v}^{2}}{r}$；所以，电子绕核转动的等效电流$I=\frac{e}{T}=\frac{ev}{2πr}=\frac{e}{2π}•\sqrt{\frac{k{e}^{2}}{m{r}^{3}}}=\frac{{e}^{2}}{2πr}\sqrt{\frac{k}{mr}}$；
b、电子在磁感应强度为B的匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力做向心力即$Bv′e=\frac{m{v′}^{2}}{R}$，所以，电子做圆周运动的等效电流$I′=\frac{e}{T′}=\frac{ev′}{2πR}=\frac{e}{2π}•\frac{Be}{m}=\frac{B{e}^{2}}{2πm}$；
答：（2）a．电子绕氢原子核做匀速圆周运动，已知半径为r，氢原子核的电量为+e，静电力常量为k，则电子绕核转动的等效电流$\frac{{e}^{2}}{2πr}\sqrt{\frac{k}{mr}}$；
b．电子在磁感应强度为B的匀强磁场中做匀速圆周运动，则电子做圆周运动的等效电流$\frac{B{e}^{2}}{2πm}$．

点评 带电粒子在磁场中运动，一般先对粒子进行受力分析，根据速度求得半径，进而求得相关问题．

练习册系列答案
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